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Estou com o seguinte problema: provar que a sequencia de funções definida por \(f_n:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}\), tal que \(f_n(x)=(n+1)x^n\), se \(0\leq x< 1\) e \(f_n(1)=0\) não converge uniformemente para a função identicamente nula \((f\equiv 0)\) no intervalo \([0,1]\) (trata-se, portanto, apenas de convergência simples). Há um conhecido teorema de Análise Real que pode ser enunciado da seguinte forma:

"Uma série convergente de funções contínuas não-negativas num conjunto compacto é uniformemente convergente se e somente se a soma é uma função contínua no compacto"

Exemplo ilustrativo: a série de funções não-negativas \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^n}\) converge para a função \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) tal que \(f(0)=0\) e \(f(x)=1+x^2\), se \(x\neq 0.\) Como a função \(f\) é descontínua no ponto zero, a convergência não é uniforme em nenhum compacto do qual zero seja ponto de acumulação.

Pois bem, aplicando o teorema ao problema em questão, tem-se que \(f_n\) converge para a função identicamente nula no compacto \([0,1]\) e \(f\) é contínua neste intervalo. Logo, isto provaria que a convergência é uniforme, e não simples. Alguém poderia esclarecer este ponto? Obrigado!

Caro Walter, não pode aplicar o teorema porque:
1- \(f_n\) não é uma série de funções não-negativas. É uma sucessão de funções que embora possa ser vista como uma série (\(f_n=f_0+\sum_{k=1}^n (f_k-f_{k-1})\)) esta não seria de termos não-negativos pois \(f_n\) não é uma sucessão monótona.
2- Além disso, \(f_n\) não é contínua no ponto 1 seja qual for o \(n\in\mathbb{N}\).

Repare que uma sucessão de funções \((f_n)\) converge uniformemente num compacto K para a função nula se e só se \(||f_n||_{\infty}=\sup\{|f_n(x)|:x\in K\}\) converge para zero o que não é o caso.

Olá, Rui.
Obrigado pelo esclarecimento.
Pensei em outra maneira de provar que não converge uniformemente.
Para provar que \(f_n\) não converge uniformemente para a função identicamente nula, basta exibir um \(\varepsilon>0\) tal que para todo \(n_0\in \mathbb{N}\) se pode achar \(n>n_0\) e \(x\in [0,1]\) com \(|f_n(x)-f(x)|\geq \varepsilon\), ou seja, \(|(n+1)x^n-0|\geq \varepsilon\). Tomando \(x=1\) temos que \(|(n+1)[1]^n-0|> 1\), ou seja,\(n+1> 1\), para todo \(n\in \mathbb{N}\). Portanto, encontramos \(\varepsilon=1\) que satisfaz o enunciado. O raciocínio está correto?

Não totalmente embora seja por aí. Note que é definido \(f_n(1)=0\) para qualquer \(n\in\mathbb{N}\), logo não podemos escolher \(x=1\). Na verdade, como existe convergência pontual, não podemos escolher um \(x\in [0,1]\) fixo para todo o \(n\in\mathbb{N}\). No entanto podemos escolher para cada \(n\) um \(x_n\in [0,1]\) tal que \(|f_n(x_n)-f(x_n)|>1\), basta tomar \(x_n\in [0,1]\) tal que \(x_n>\sqrt[n]{\frac{1}{n+1}}\).