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| Mostrar que uma função é inetora. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=15&t=6674 |
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| Autor: | Marcella [ 08 ago 2014, 16:58 ] |
| Título da Pergunta: | Mostrar que uma função é inetora. |
Boa tarde!!!! Seja \(f : A\rightarrow B\) uma função. Mostre que f é injetora se, e somente se, \(f^{-1}(f(X))=X\) para todo X C A. |
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| Autor: | Walter R [ 10 ago 2014, 04:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostrar que uma função é inetora. [resolvida] |
Olá! Em qualquer caso vale que \(f^{-1}(f(X))\supset X\). Para provar a inclusão contrária, \(x \in f^{-1}(f(X))\Rightarrow f(x)\in f(X)\). Agora,se a \(f\) é injetiva, podemos afirmar que \(f(x)\in f(X)\Rightarrow x \in X\),donde \(f^{-1}(f(X))\subset X\). Note que se a \(f\) não é injetiva,pode-se ter \(f(x) \in f(X)\) sem que se tenha \(x \in X\). Por exemplo: \(f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}\);\(f(x)=x^2\). Então \(f(X)=[0,1]\) e \(f(-1)=1 \in f(X)\),mas \(-1 \notin X\). |
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