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Estou tentando entender indução matematica, mas travei também nessa questão de indução Forte, alguem pode me ajudar ?


Seja a sequência a1, a2, a3, . . . definida como:
a1 = 1, a2 = 3
\(A_{k}\) = \(A_{k-2}\)+\(2a_{k-1}\) para todos inteiros k >=3
Mostre usando Indução Forte que \(a_{n}\) é ımpar para todo n natural.

Só tem que ver que \(a_n\) é ímpar sabendo que \(a_k\) é ímpar para todo o natural \(k<n\). Isso não tem problemas de maior pois sabemos que \(a_n=a_{n-2}+2a_{n-1}\), como \(a_{n-2}\) é ímpar (por hipótese de indução) e \(2a_{n-1}\) é par \(a_n\) tem que ser ímpar. Há que ver também a base de indução que neste caso é \(a_1\) e \(a_2\) serem ímpares.

ainda não entendi.

Poderiam me ajudar melhor a resolver essa questão ?

O que é que não entendeu?
De uma forma geral método de indução consiste em demonstrar uma proposição (por exemplo uma fórmula) que dependa de uma variável \(n\) natural é verdadeira para todo o natural \(n\) através de dois passos.

- Mostrando que essa proposição é verdadeira para um dado \(n\) sempre que for verdadeira para valores mais baixos* que \(n\) (chama-se a tal o passo de indução) e;

- Mostrando que a proposição é verdadeira para o primeiro** natural (chama-se a tal a base de indução).

Desta forma fica demonstrado para todo o \(n\) por efeito dominó: se é verdade para \(n=1\) entâo também é verdade para \(n=2\), logo também é válido para \(n=3\) (pois é válido para n=1 e n=2) e por assim adiante.

*- Na forma mais tradicional basta mostrar a veracidade para \(n\) assumindo a veracidade para \(n-1\) (é o típico \(P(n)\Rightarrow P(n+1)\)). Mas em alguns casos é mais fácil (ou até mesmo necessário) assumir a veracidade da proposição para todos o valores naturais mais baixos (provavelmente aquilo que você designa de indução forte).

**- Geralmente o primeiro natural é o zero ou o um dependendo do contexto, mas pode-se usar o método de indução para demonstrar proposições que sejam válidas a partir de certa ordem (por exemplo \(n!>2n\) para \(n\geq 3\)). Também pode ser necessário demonstar para os primeiros (mais que um) números se for uma fórmula que recorra a mais de que um termo anterior (por exemplo os números de Fibonacci são definidos por \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\), \(F_1=1\) e \(F_0=0\), assim se quisermos demonstrar por indução a fórmula \(F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right\}\) temos que verificá-la para \(F_1\) e \(F_0\) e depois aplicar o passo de indução).