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| Mostrar que a função é derivavel no intervalo https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=15&t=7189 |
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| Autor: | Daianne [ 24 Oct 2014, 13:47 ] |
| Título da Pergunta: | Mostrar que a função é derivavel no intervalo |
Mostre que a função f : I -> R, derivável no intervalo I, satisfaz a condição \(\left | f(x)-f(y) \right |\leq c\left | x-y \right |\), para qualquer \(x, y \in I\) quaisquer se, e somente se, \(\left | f'(x) \right |\leq c\) para todo \(x\in I\). |
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| Autor: | skaa [ 24 Oct 2014, 20:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostrar que a função é derivavel no intervalo [resolvida] |
É a mesma: \(\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|\leq c \Rightarrow |f'(x)|\leq c\) Prova por contradição. Suponha por absurdo: \(\exists y:|f'(x)|=d>c (d=c+m)\) em seguida, \(\lim_{x\rightarrow y}\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|=d\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\exists \delta >0:|x-y|<\delta \Rightarrow \left|\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|-d\right|<\varepsilon\) \(d-\varepsilon <\left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|<d+\varepsilon\) Vamos escolher \(\varepsilon =\frac{m}{2}\Rightarrow \left|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\right|>d-\frac{m}{2}=c+\frac{m}{2}>c\) |
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