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| Demonstração partindo de uma função com derivada limitada https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=15&t=7740 |
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| Autor: | fabio_dias [ 07 jan 2015, 19:55 ] |
| Título da Pergunta: | Demonstração partindo de uma função com derivada limitada |
Dada \(f:R\rightarrow R\) derivável, com derivada limitada, prove que existe uma constante c ∈ R\{0} tal que a função g:R\(\rightarrow\)R, definida por g(x)=x+cf(x), é bijetiva com inversa derivável. |
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| Autor: | Sobolev [ 07 jan 2015, 20:46 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração partindo de uma função com derivada limitada [resolvida] |
Uma pequena ajuda... Como \(g'(x)= 1 + c f'(x)\) e f' é limitada, podemos escolher c de modo que g' > 0. Desse modo g é diferenciável e injectiva, pelo que tem inversa definida em \(\mathbb{R}\) e essa inversa é derivável (teorema da derivada da função inversa). Resta-lhe provar que g é sobrejectiva. |
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| Autor: | Sobolev [ 08 jan 2015, 18:35 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Demonstração partindo de uma função com derivada limitada |
Como g é contínua e crescente, para mostrar a sobrejectividade é suficiente verificar que \(\lim_{x\to -\infty} g(x) = -\infty, \qquad \lim_{x\to +\infty} g(x) = +\infty\) Vejamos o segundo limite: Usando a fórmula de Taylor de ordem 1 \(g(x) = g(0) + g'(\xi_x) x, \quad \xi_x \in [0,x]\) Se c tiver sido escolhido de modo que não apenas g' > 0, mas também que \(g' > c_0 > 0\), então o limite é dado por \(\lim_{x\to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} (g(0) + g'(\xi_x) x = +\infty\) Isto porque \(g'(\xi_x)>c_0>0\) e \(\lim_{x\to +\infty} x = +\infty\). Depois é só proceder do mesmo modo para \(x \to -\infty\). |
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