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| Topologia de espaco metrico compacto https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=15&t=7824 |
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| Autor: | LucianaAlves [ 22 jan 2015, 12:33 ] |
| Título da Pergunta: | Topologia de espaco metrico compacto |
alguém pode me ajudar com essa pergunda sejam \(X\) um espaço métrico compacto e \(T:\ X -X\) tal que a distância é preservada \(d(x,y) = d(T(x), T(y))\) para todos \(x, y\) pertencente a \(X\). Prove que \(T\) é homeomorfismo. |
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| Autor: | curse_you_all_men [ 22 jan 2015, 21:43 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Topologia de espaco metrico compacto |
Lema: se X é compacto, Y é separado e f: X---->Y é bijecção contínua então f é homeomorfismo. Por hipótese (X,d) é métrico logo é separado. A continuidade também se demonstra facilmente: se y é um ponto arbitrário de X e x(n) ----> y então d(x(n), y) -------> 0 em R e logo também d(T(x(n)), T(y)) -----> 0 em R donde T(x(n)) -----> y em X. Como X satisfaz o 1º axioma da numerabilidade é suficiente mostrar isto para N_sucessões. Portanto T é contínua. A injectividade também é simples e vem do facto de X ser métrico. Falta apenas a sobrejectividade! Boa sorte porque não estou a ver como isso se demonstra. |
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| Autor: | curse_you_all_men [ 22 jan 2015, 21:44 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Topologia de espaco metrico compacto |
oops: ...e logo também d(T(x(n)), T(y)) -----> 0 em R donde T(x(n)) ----->T(y) em X |
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