Curva de Bézier (Função vetorial)

[MRocha]

Boas,

Gostaria de saber se o seguinte exercício está bem resolvido:

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Tenho duas dúvidas:
O cálculo de derivadas está bem feito;
0^0=1 ? alguns sites consideram indeterminação.

Obrigado.

[Rui Carpentier]

0^0=1 ? alguns sites consideram indeterminação.

\(0^0\) como número real não está definido, no entanto, por convenção o monómio \(t^0\) é considerado constante igual a um. Como muitas convenções em matemática, esta não é arbitrária. É feita de modo a preservar a propriedade \(t^{m+n}=t^mt^n\) e a continuidade no ponto t=0.
Dito isto, podemos dizer que os cálculos de \(\vec{y}(0)\) e \(\vec{y}(1)\) estão, no essencial, corretos (poderiam ser feitos de uma forma menos trapalhona).

O cálculo de derivadas está bem feito;

Não! Qualquer função num ponto tem valor constante, mas, a menos que a função seja constante numa vizinhança do ponto, não podemos dizer que a derivada é nula. Convém ter sempre em mente que a derivada duma função num dado ponto depende comportamento da função na vizinhança do ponto e não só do valor da função no ponto.
Dito isto, o que tem a fazer é derivar os polinómios \(p_k(t)=t^k(1-t)^{n-k}\) nos pontos 0 e 1. Note que como 0 é uma raíz múltipla de \(p_k\) para \(k\geq 2\) e 1 é uma raíz múltipla de \(p_k\) para \(k\leq n-2\) só tem de calcular \(p'_0(0)\), \(p'_1(0)\), \(p'_{n}(1)\) e \(p'_{n-1}(1)\).