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polinomios https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=15&t=809	Página 1 de 1

Autor:	carlos [ 16 set 2012, 00:36 ]
Título da Pergunta:	polinomios
1)Considere o polinômio (definido nos reais) p(x)=x^4-mx^2-4. Existe m∈R , tal que p(x) possua 4 raízes reais? Se sim, calcule os possíveis valores de m. Caso contrário, justifique porque não existe. 2) Mostre que as soluções da equação sinx=ax, com a>0, estão todas no intervalo [-1/a,1/a]. não estou conseguindo resolver.

Autor:	Rui Carpentier [ 16 set 2012, 18:02 ]
Título da Pergunta:	Re: polinomios
1) \(p(x)=x^4-mx^2-4\) possui 4 soluções reais se e só se \(q(x)=x^2-mx-4\) possui duas soluções reais positivas (note que \(q(x^2)=p(x)\) logo uma solução positiva \(r\) de \(q(x)\) dá origem a duas soluções reais \(\sqrt{r}\) e \(-\sqrt{r}\) de \(p(x)\)). Para tal acontecer é necessário que o discriminante \(\Delta=m^2+16\) seja positivo e que as duas soluções \(\frac{m+\sqrt{m^2+16}}{2}\) e \(\frac{m-\sqrt{m^2+16}}{2}\) sejam ambas positivas. Mas é fácil ver que a segunda é negativa, \(\frac{m-\sqrt{m^2+16}}{2}<0\) pois \(\sqrt{m^2+16}>\|m\|\). Portanto \(q(x)\) tem uma solução positiva e uma negativa logo \(p(x)\) só tem duas soluções reais. 2) Seja \(x\) tal que \(\sin x=ax\) com \(a\) positivo. Como a função seno varia entre -1 e 1 temos que \(-1\leq ax\leq 1\), logo \(x\in [-{1}/{a},{1}/{a}]\).

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