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Boa tarde,
Considere a função f, de domínio \(]-\infty ,0[\) definida por \(f\left ( x \right )=x-1+\frac{\ln \left ( -x \right )}{x}\) .
Mostre que a condição \(f\left ( x \right )=-\, e\), tem pelo menos, uma solução em \(]-e,-1[\), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.
Inicialmente tive dúvidas e fui consultar a resolução, mas achei-a um pouco confusa. Então construí a minha própria resposta:
A função f é contínua em \(]-\infty ,0[\) porque é a soma entre uma função polinomial e o quociente de duas funções contínuas: uma logarítmica e uma polinomial.
\(f\left ( x \right )=e\Leftrightarrow \, f\left ( x \right )+e=0\)
Considerando a função g(x)=0, temos \(g\left ( x \right )=f\left ( x \right )+e\)
Como a função g é o resultado de uma translação vertical, associada ao vetor (0,e), sofrida pelo gráfico da função f, o seu domínio é igual ao domínio de f. A função g é, ainda, contínua neste intervalo, ou seja, contínua em \(]-\infty ,0[\) , por ser a soma entre f(x) que é contínua e uma função constante (e) também contínua.
Como queremos provar que \(f\left ( x \right )=-\, e\) tem pelo menos uma solução em \(]-e,-1[\) basta referirmos que \([-e,-1]\subset \, ]-\infty ,0[\) , logo g, que é o equivalente à condição \(f\left ( x \right )=-\, e\) , é contínua em \([-e,-1]\) .
Por último, \(g\left ( x \right )=x-1+\frac{\ln \left ( -x \right )}{x}+e\)
. \(g\left ( -e \right )=-1-\frac{1}{e}\Leftrightarrow \, g\left ( -e \right )< 0\)
. \(g\left ( -1 \right )=-2+e\Leftrightarrow \, g\left ( -1 \right )> 0\)
g é contínua em [-e,-1] e \(g\left ( -e \right )\times g\left ( -1 \right )< 0\) . Logo, pelo Teorema de Bolzano, g admite pelo menos um zero no intervalo ]-e,-1[, ou seja, a equação f(x)= -e tem pelo menos uma solução nesse intervalo.
Gostaria então que confirmassem ou corrigissem o raciocínio.
Obrigada pela atenção!
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