Relativamente a duas funções, f e g, sabe-se que:
. têm domínio [2,3]
. são funções contínuas
. \(f\left ( 2 \right )-g\left ( 2 \right )> 0\:\: e\: \: f\left ( 3 \right )-g\left ( 3 \right )< 0\)
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?
(A) Os gráficos de f e g intersetam-se em pelo menos um ponto.
(B) A função \(f-g\) é crescente.
(C) Os gráficos de f e g não se intersetam.
(D) A função \(f-g\) é decrescente.
Para resolver este exercício, fui, em primeiro lugar, verificar a veracidade da opção A.
Para verificar se os gráficos de f e g se intersectam em pelo menos um ponto, devemos provar que \(\exists \,\, x\in\, ]2,3[\, :f\left ( x \right )=g\left ( x \right )\Rightarrow \, \exists \, \, x\in \, ]2,3[\, :f\left ( x \right )-g\left ( x \right )=0\Leftrightarrow \, \exists \, \, x\in \, ]2,3[\, :\left ( f-g \right )\left ( x \right )=0\)
\(f\left ( 2 \right )-g\left ( 2 \right )> 0\Leftrightarrow \, \left ( f-g \right )\left ( x \right )> 0\) e \(f\left ( 3 \right )-g\left ( 3 \right )< 0\Leftrightarrow \, \left ( f-g \right )\left ( 3 \right )< 0\: \:\, logo\: \: \, \left ( f-g \right )\left ( 2 \right )\times \left ( f-g \right )\left ( 3 \right )< 0\)
O Teorema de Bolzano permite concluir que \(\left ( f-g \right )\left ( x \right )\) tem, pelo menos um zero, no intervalo ]2,3[ , ou seja, \(f\left ( x \right )-g\left ( x \right )=0\) .
Deste modo prova-se que \(\exists \,\, x\in \, ]2,3[\, :f\left ( x \right )=g\left ( x \right )\) , ou, por outras palavras, os gráficos de f e g intersetam-se em pelo menos um ponto. Logo, opção A é verdadeira.
Mas durante a resolução anterior, eu escrevi \(\left ( f-g \right )\left ( 2 \right )> 0\: \: e\: \: \left ( f-g \right )\left ( 3 \right )< 0\) , o que me leva à questão: Porque é que a opção D não é necessariamente verdadeira?
Anexo:
decrescente.jpg [ 5.16 KiB | Visualizado 2617 vezes ]
Temos uma função decrescente quando \(f\left ( x\, _{2} \right )< f\left ( x_\, {1} \right )\) e no exercício anterior tínhamos \(\left ( f-g \right )\left ( 3 \right )< \left ( f-g \right )\left ( 2 \right )\) .
Então, porque é que a função \(f-g\) não pode ser considerada decrescente?
Ficarei grata se me puderem ajudar.