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DÚVIDAS? Nós respondemos!

Pessoal.... empaquei numa dificuldade relativamente simples de uma problema mais complexo, é uma dúvida sobre como encontrar o ponto de tangência. Tangente: y = -x Curva: y = x^3 - 6x^2 + 8x.
Bom.... eu sei que se eu derivar a função estudada no ponto em questão, vou obter o coeficiente angular, o coeficiente já foi-me dado quando a reta tangente foi fornecida certo? Nesse caso: -1.
Até aí eu concluí que f'(x) = -1.
Então eu derivei a curva: 3x^2 - 12x + 8 = - 1.
Agora começa minha real dúvida: Quando eu extrapolar as raízes da equação derivada acima, vou obter duas coordenadas X (3 e 1)... qual delas é a coordenada do ponto de tangência?
A resposta já foi dada, o ponto é (3, -3)... ok, é só substituir o valor 3 na reta tangente pra conseguir o Y certo? O que eu não entendo é: PQ o 3 e não o 1? Como saber qual a coordenada correta quando eu extrair as raízes da derivada? (levando em conta que o grau dela é maior que 1 claro).

Olá boa tarde! As retas tangentes ao gráfico são do tipo \(y=mx+b\) sendo \(m\) dando pela derivada do ponto em questão.
Neste caso o m foi nos dado e a sua resolução está impecável. Agora quando chega às duas soluções \(x=1\: \vee \: x=3\) conclui-se que para o gráfico em questão, haverá duas retas tangentes para o qual, o declive \(m\), será -1. O que vai mudar será o valor do b.

Qual é o ponto que escolho? A sua dúvida. Simples, o ponto tangente é comum à reta e ao gráfico, então basta ver se para \(x=1\) e \(x=3\) lhe corresponde as mesmas coordenadas para as duas equações.

Para \(x=1\) vem:

\(y=-1 \rightarrow (1,-1)
y=1^3 - 6 \cdot 1^2 + 8\cdot 1=\: 3\rightarrow (1,3)\)

Coordenadas diferentes! Logo este ponto não é tangente à reta \(y=-x\)

Para \(x=3\) vem:

\(y=-3 \rightarrow (3,-3)
y=3^3 - 6 \cdot 3^2 + 8\cdot 3=-3\rightarrow (3,-3)\)

Coordenadas iguais! Logo este ponto é tangente à reta \(y=-x\)

Muito obrigado!!!!!!! :D