Dominio de função complexa, alguém?
08 dez 2015, 20:46
Alguém me ajuda nessa? Obrigado!
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Re: Dominio de função complexa, alguém?
09 dez 2015, 11:20
A determinação do domínio funciona do mesmo modo que no caso real... Por exemplo para a) terá
\(D = \{z \in \mathbb{C}:z^2+\overline{z}^2 \ne 0\}\)
Para saber os pontos a excluir do domínio devemos então resolver a equação
\(z^2 +\overline{z}^2=0 \Leftrightarrow (x+iy)^2 + (x-iy)^2=0 \Leftrightarrow x^2+2xyi-y^2+x^2-2xyi-y^2=0\Leftrightarrow y = \pm x\)
Assim, o domínio da função será todo o plano complexo com excepção das rectas \(Im(z)= \pm Re(z)\)
\(D = \{z \in \mathbb{C}:z^2+\overline{z}^2 \ne 0\}\)
Para saber os pontos a excluir do domínio devemos então resolver a equação
\(z^2 +\overline{z}^2=0 \Leftrightarrow (x+iy)^2 + (x-iy)^2=0 \Leftrightarrow x^2+2xyi-y^2+x^2-2xyi-y^2=0\Leftrightarrow y = \pm x\)
Assim, o domínio da função será todo o plano complexo com excepção das rectas \(Im(z)= \pm Re(z)\)
Re: Dominio de função complexa, alguém?
09 dez 2015, 12:50
No caso b) o domínio é dado por
\(D=\{z \in \mathbb{C}: e^z \ne 1\}\)
Novamente, devemos ver quando é que
\(e^z = 1 \Leftrightarrow e^x \cos y + ie^x \sin y = 1 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} e^x \cos y = 1\\ e^x \sin y = 0\end{array}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} e^x \cos x = 1\\ y= k\pi , k \in \mathbb{Z}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} e^x = (-1)^k\\ y= k\pi , k \in \mathbb{Z}\end{array}\right.\)
Temos então que apenas podemos ter valores pares de k ( de outro modo a 1ª eq. é impossível), e que x = 0. As solução são pois todos os complexos da forma \(z = 2 k \pi i\). O domínio será o plano complexo à excepção dos pontos da forma mencionada.
\(D=\{z \in \mathbb{C}: e^z \ne 1\}\)
Novamente, devemos ver quando é que
\(e^z = 1 \Leftrightarrow e^x \cos y + ie^x \sin y = 1 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} e^x \cos y = 1\\ e^x \sin y = 0\end{array}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} e^x \cos x = 1\\ y= k\pi , k \in \mathbb{Z}\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{ll} e^x = (-1)^k\\ y= k\pi , k \in \mathbb{Z}\end{array}\right.\)
Temos então que apenas podemos ter valores pares de k ( de outro modo a 1ª eq. é impossível), e que x = 0. As solução são pois todos os complexos da forma \(z = 2 k \pi i\). O domínio será o plano complexo à excepção dos pontos da forma mencionada.
Re: Dominio de função complexa, alguém?
09 dez 2015, 15:45
Muito obrigado, ajudou demais!