Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

alguém me pode ajudar a resolver 1 de 3 problemas? ou dizer onde posso procurar? ou ainda explicar como posso chegar à solução?

1


2


3


cumps

Em relação ao segundo pode ser feito da seguinte maneira:

Seja \(N\) um numero com \(k\) algarísmos e \(a\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). Queremos determinar o menor número da forma \(10N+a\) tal que \(10^ka+N=4(10N+a)=40N+4a\). Então \((10^k-4)a=39N=3\cdot 13\cdot N\). Como \(a\) não pode ser múltiplo de 13 temos que \(k\) é o menor natural tal que \(10^k-4\) é múltiplo de 13. Não é difícil descobrir que \(k=5\), \(10^5-4=99996=13\times 7692\) (é só fazer o algorítmo da divisão ao contrário). Assim temos que \(39N=3\times 13\times N=13\times 7692\times a =3\times 13\times 2564\times a \Leftrightarrow N=2564 a\). Como \(N\) tem 5 algarísmos temos que \(a\geq 4\)
Logo obtemos o menor número da forma \(10N+a\) tal que \(10^ka+N=4(10N+a)=40N+4a\) fazendo \(a=4\) e \(N=4\times 2564= 10256\).
Concluíndo, a solução é \(102564\) (de facto verifica-se que \(410256=4\times 102564\)).

Quanto ao terceiro problema é mais fácil do que parece.

Pela forma da divisão é fácil ver que os algarísmos de cada lado do 8 são o 0. Além disso, o divisor terá de ser tal que vezes 8 dá um número de dois algarísmos e vezes cada um dos algarísmos estão nas pontas do quociente dá um numero com três algarísmos. Portanto os algarísmos nas pontas do quociente são o 9 e o divisor \(D\) é tal que \(8D<100\leq 9D \Leftrightarrow \frac{100}{9}\leq D<\frac{100}{8}\Leftrightarrow 11+\frac{1}{9}\leq D<12+\frac{1}{2}\), logo \(D=12\). Sabendo o divisor \(D=12\) e o quociente \(Q=90809\) e o resto \(R=1\) facilmente se reconstroi os restantes algarísmos.