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Resolver um problema de Sistemas de Numeração
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=16&t=1218		 Página 1 de 1
Autor:  esec.rom [ 12 dez 2012, 20:32 ]
Título da Pergunta:  Resolver um problema de Sistemas de Numeração  [resolvida]
alguém me pode ajudar a resolver 1 de 3 problemas? ou dizer onde posso procurar? ou ainda explicar como posso chegar à solução?

1
Código:
 Descubra o numero formado pelos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 e 9 sem repetição,
em que:
• os dois primeiros algarismos a contar da esquerda formam um numero divisível
por 2;
• os três primeiros formam um numero divisível por 3;
• os quatro primeiros formam um numero divisível por 4;
• e assim sucessivamente.
Quantas soluções existem?


2
Código:
Qual e o menor numero natural que, se tirarmos o ultimo algarismo, o das unidades,
e o colocarmos no início, do lado esquerdo, obtemos um numero 4 vezes maior?


3
Código:
Na divisao que se segue http://img594.imageshack.us/img594/4950/capturardnb.png desapareceram todos os algarismos, ficando apenas o 8 no
quociente e o 1 do resto. Pode parecer impossível reconstruir a operação, no entanto
há uma só solução.



cumps

Anexos:
Capturar.PNG
Capturar.PNG [ 7.47 KiB | Visualizado 8385 vezes ]
Autor:  Rui Carpentier [ 14 dez 2012, 17:55 ]
Título da Pergunta:  Re: Resolver um problema de Sistemas de Numeração
Em relação ao segundo pode ser feito da seguinte maneira:

Seja \(N\) um numero com \(k\) algarísmos e \(a\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\). Queremos determinar o menor número da forma \(10N+a\) tal que \(10^ka+N=4(10N+a)=40N+4a\). Então \((10^k-4)a=39N=3\cdot 13\cdot N\). Como \(a\) não pode ser múltiplo de 13 temos que \(k\) é o menor natural tal que \(10^k-4\) é múltiplo de 13. Não é difícil descobrir que \(k=5\), \(10^5-4=99996=13\times 7692\) (é só fazer o algorítmo da divisão ao contrário). Assim temos que \(39N=3\times 13\times N=13\times 7692\times a =3\times 13\times 2564\times a \Leftrightarrow N=2564 a\). Como \(N\) tem 5 algarísmos temos que \(a\geq 4\)
Logo obtemos o menor número da forma \(10N+a\) tal que \(10^ka+N=4(10N+a)=40N+4a\) fazendo \(a=4\) e \(N=4\times 2564= 10256\).
Concluíndo, a solução é \(102564\) (de facto verifica-se que \(410256=4\times 102564\)).
Autor:  Rui Carpentier [ 14 dez 2012, 18:14 ]
Título da Pergunta:  Re: Resolver um problema de Sistemas de Numeração
Quanto ao terceiro problema é mais fácil do que parece.

Pela forma da divisão é fácil ver que os algarísmos de cada lado do 8 são o 0. Além disso, o divisor terá de ser tal que vezes 8 dá um número de dois algarísmos e vezes cada um dos algarísmos estão nas pontas do quociente dá um numero com três algarísmos. Portanto os algarísmos nas pontas do quociente são o 9 e o divisor \(D\) é tal que \(8D<100\leq 9D \Leftrightarrow \frac{100}{9}\leq D<\frac{100}{8}\Leftrightarrow 11+\frac{1}{9}\leq D<12+\frac{1}{2}\), logo \(D=12\). Sabendo o divisor \(D=12\) e o quociente \(Q=90809\) e o resto \(R=1\) facilmente se reconstroi os restantes algarísmos.
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