Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Um Fórum em Português dedicado à Matemática
Data/Hora: 29 mar 2024, 16:00

Os Horários são TMG [ DST ]




Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 2 mensagens ] 
Autor Mensagem
 Título da Pergunta: complex number
MensagemEnviado: 04 abr 2012, 16:15 
Offline

Registado: 25 nov 2011, 04:57
Mensagens: 66
Agradeceu: 1 vez(es)
Foi agradecido: 0 vez(es)
If \(a\;,b\;,c\) are different Complex no. and \(\mid a \mid = \mid b\mid =\mid c \mid>0\)

If \(a+bc\;,b+ca\;,c+ab\in \mathbb{R}\). Then \(abc =\)


Topo
 Perfil  
 
 Título da Pergunta: Re: complex number
MensagemEnviado: 01 jul 2013, 02:34 
Offline

Registado: 10 nov 2012, 00:19
Mensagens: 1432
Localização: Mogi das Cruzes - SP - Brasil
Agradeceu: 47 vezes
Foi agradecido: 452 vezes
After a while, we are here with this good old problem of complex numbers. A little challenging to say the truth. So, let's go:

Let \(\left | a \right | = m > 0\), then \(m^2 = a \cdot \bar a\), by complex modulus properties.

And by problem data \(m^2 = a \cdot \bar a = b \cdot \bar b = c \cdot \bar c\).

If \(a + bc \in R\) then \(\bar a + \bar b \bar c \in R\) too, by complex numbers symetry.

So, \(a + bc = \frac{m^2}{a \bar a} \cdot \bar a + \bar b \bar c \cdot \frac{bc}{bc}\) ( multiplying by 1 ).

This implies that: \(a + bc = \frac{m^2}{a} + \frac{m^4}{bc} \Leftrightarrow a + bc = \frac{bcm^2 + am^4}{abc} = \frac{m^2(bc+am^2)}{abc}\)

\(\Leftrightarrow \frac{a + bc}{bc+am^2} = \frac{m^2}{abc}\) and similarly:

\(\frac{m^2}{abc} = \frac{b + ac}{ac+bm^2} = \frac{c + ab}{ab+cm^2}\).

From the rules of proportionality, we have: \(\frac{m^2}{abc} = \frac{a + bc - (b+ac)}{bc+am^2 - (ac+bm^2}\).

Which leads us to: \(\frac{m^2}{abc} = \frac{a + bc - b - ac)}{bc+am^2 - ac - bm^2}\).

Computing a bit: \(\frac{m^2}{abc} = \frac{a(1-c)-b(1-c)}{a(m^2-c) - b(m^2 - c} = \frac{(a-b)(1-c)}{(a-b)(m^2-c)}\).

So, we get \(\frac{m^2}{abc} = \frac{(1-c)}{(m^2-c)}\), again by proportionality:

\(\frac{m^2}{abc} = \frac{1}{m^2}\) and ...

Finally, we have \(abc = m^4\).

_________________
Fraol
Você também pode contribuir, se souber alguma questão responda ou participe da discussão. Divulgue nosso forum.


Topo
 Perfil  
 
Mostrar mensagens anteriores:  Ordenar por  
Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 2 mensagens ] 

Os Horários são TMG [ DST ]


Quem está ligado:

Utilizadores a ver este Fórum: Nenhum utilizador registado e 14 visitantes


Criar perguntas: Proibído
Responder a perguntas: Proibído
Editar Mensagens: Proibído
Apagar Mensagens: Proibído
Enviar anexos: Proibído

Pesquisar por:
Ir para:  
cron