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Todo o cálculo que envolva a análise em torno de números complexos
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Logaritmo Complexo e Condições de Cauchy-Rieman

19 dez 2014, 03:47

Sendo \(z=r \left(\cos \theta+ i \sin \theta \right)\) , mostre que a função :


\(F(z)=\log r + i \theta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \left( r>0 \;\; , \;\; -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)\)


é analítica no domínio de definição indicado e que \(F'(z)=\frac{1}{z}\) aí. Diga então, porque a função composta \(F(2z+i-2)\)é função analítica de\(z\) no domínio\(x>1\).




OBS: Só queria saber como provar que \(F(2z+i-2)\) é analítica no domínio \(x>1\), o restante já conseguir.Agradeço desde já.

Re: Logaritmo Complexo e Condições de Cauchy-Rieman

19 dez 2014, 11:56

Bom dia,

Já fez o mais difícil! Para a última parte basta ver que, para Re(z) > 1, os números complexos 2z + i -2 não ficam sobre a parte negativa do eixo imaginário. De facto, para que 2z + i - 2 fique sobre a parte negativa do eixo imaginário é necessário que z esteja sobre a recta vertical que passa em Re(z)=1, mais concretamente com Im(z) <= -1/2.

Portanto, apesar de a função ser analítica num conjunto maior, é analítica no conjunto indicado (x >1).

Re: Logaritmo Complexo e Condições de Cauchy-Rieman

19 dez 2014, 20:42

Sobolev Escreveu:Bom dia,

Já fez o mais difícil! Para a última parte basta ver que, para Re(z) > 1, os números complexos 2z + i -2 não ficam sobre a parte negativa do eixo imaginário. De facto, para que 2z + i - 2 fique sobre a parte negativa do eixo imaginário é necessário que z esteja sobre a recta vertical que passa em Re(z)=1, mais concretamente com Im(z) <= -1/2.

Portanto, apesar de a função ser analítica num conjunto maior, é analítica no conjunto indicado (x >1).




Sobolev , vc poderia me explicar o porque de Re(z)>0 quando x>1, implicar que é analítica?

Re: Logaritmo Complexo e Condições de Cauchy-Rieman

20 dez 2014, 12:15

O ramo da função logaritmo que está a ser considerado é diferenciável (ou analítico, ou holomorfo) em todo o plano complexo, à excepção da parte negativa do eixo imaginário. Por outro lado, a composição de funções diferenciáveis é diferenciável. Assim, para garantir a diferenciabilidade da função composta, basta exigir que 2z + i -2 pertença ao domínio de diferenciabilidade do Logaritmo. Ora, 2z + i -2 pertence à parte negativa do eixo imaginário se z estiver sobre a semi-recta vertical definida por Re(z)=1, Im(z)<=-1/2.

Em rigor, a função composta será diferenciável em todo o plano complexo à excepção desta última semi-recta. O domínio proposto, Re(z)>1 está contido no domínio de diferenciabilidade.
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