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| Logaritmo Complexo e Condições de Cauchy-Rieman https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=16&t=7653 |
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| Autor: | Man Utd [ 19 dez 2014, 03:47 ] |
| Título da Pergunta: | Logaritmo Complexo e Condições de Cauchy-Rieman |
Sendo \(z=r \left(\cos \theta+ i \sin \theta \right)\) , mostre que a função : \(F(z)=\log r + i \theta \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \left( r>0 \;\; , \;\; -\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2} \right)\) é analítica no domínio de definição indicado e que \(F'(z)=\frac{1}{z}\) aí. Diga então, porque a função composta \(F(2z+i-2)\)é função analítica de\(z\) no domínio\(x>1\). OBS: Só queria saber como provar que \(F(2z+i-2)\) é analítica no domínio \(x>1\), o restante já conseguir.Agradeço desde já. |
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| Autor: | Sobolev [ 19 dez 2014, 11:56 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Logaritmo Complexo e Condições de Cauchy-Rieman |
Bom dia, Já fez o mais difícil! Para a última parte basta ver que, para Re(z) > 1, os números complexos 2z + i -2 não ficam sobre a parte negativa do eixo imaginário. De facto, para que 2z + i - 2 fique sobre a parte negativa do eixo imaginário é necessário que z esteja sobre a recta vertical que passa em Re(z)=1, mais concretamente com Im(z) <= -1/2. Portanto, apesar de a função ser analítica num conjunto maior, é analítica no conjunto indicado (x >1). |
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| Autor: | Man Utd [ 19 dez 2014, 20:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Logaritmo Complexo e Condições de Cauchy-Rieman |
Sobolev Escreveu: Bom dia, Já fez o mais difícil! Para a última parte basta ver que, para Re(z) > 1, os números complexos 2z + i -2 não ficam sobre a parte negativa do eixo imaginário. De facto, para que 2z + i - 2 fique sobre a parte negativa do eixo imaginário é necessário que z esteja sobre a recta vertical que passa em Re(z)=1, mais concretamente com Im(z) <= -1/2. Portanto, apesar de a função ser analítica num conjunto maior, é analítica no conjunto indicado (x >1). Sobolev , vc poderia me explicar o porque de Re(z)>0 quando x>1, implicar que é analítica? |
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| Autor: | Sobolev [ 20 dez 2014, 12:15 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Logaritmo Complexo e Condições de Cauchy-Rieman |
O ramo da função logaritmo que está a ser considerado é diferenciável (ou analítico, ou holomorfo) em todo o plano complexo, à excepção da parte negativa do eixo imaginário. Por outro lado, a composição de funções diferenciáveis é diferenciável. Assim, para garantir a diferenciabilidade da função composta, basta exigir que 2z + i -2 pertença ao domínio de diferenciabilidade do Logaritmo. Ora, 2z + i -2 pertence à parte negativa do eixo imaginário se z estiver sobre a semi-recta vertical definida por Re(z)=1, Im(z)<=-1/2. Em rigor, a função composta será diferenciável em todo o plano complexo à excepção desta última semi-recta. O domínio proposto, Re(z)>1 está contido no domínio de diferenciabilidade. |
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