suponha que a # 1 . Mostre que P é verdadeira

[abdeco]

pessoal preciso resolver o problema a baixo e não estou conseguindo poderia me ajudar por favor ?

suponha que a # 1 . Mostre que P é verdadeira para todo n >= 1 onde P e definida

P(n) = 1 + a + a^2 + a^n = a^n+1 / a -1

Obrigado

[abdeco]

pessoal preciso resolver o problema a baixo e não estou conseguindo poderia me ajudar por favor ?

suponha que a # 1 . Mostre que P é verdadeira para todo n >= 1 onde P e definida

P(n) = 1 + a + a^2 + a^n = a^n-1 - 1 / a -1

Obrigado

[Rui Carpentier]

P(n) = 1 + a + a^2 + a^n = a^n-1 - 1 / a -1

Penso que deva ser \(P(n) = 1 + a + a^2 +\cdots + a^n = \frac{a^{n+1} - 1}{a -1}\) em vez de \(P(n) = 1 + a + a^2 + a^n = \frac{a^{n-1} - 1}{a -1}\) ou \(P(n) = 1 + a + a^2 + a^n = \frac{a^{n+1}}{a -1}\)

Seja \(S_n=1 + a + a^2 +\cdots + a^n\) então, multiplicando ambas as parcelas da equação por a, temos \(aS_n= a + a^2 +\cdots + a^{n+1}=1+ a + a^2 +\cdots + a^{n+1} -1 =S_n+a^{n+1} -1\). Agora só tem de resolver a equação \(aS_n=S_n + a^{n+1} -1\) em ordem a \(S_n\).