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O critério do "Wronskiano" fornece uma condição suficiente para a independência linear de uma conjunto de funções. No caso que apresenta, conforme a natureza das raízes \(\alfa, \beta\) terá diferentes verificações a fazer ...
Caso 1. Duas raízes reais distintas
\(y(x)= c_1 e^{\alpha x} + c_2 e^{\beta x}\)
As funções \(g_1(x) = e^{\alpha x}\) e \(g_2 (x) = e^{\beta x}\) serão linearmente independentes num intervalo I? Se o determinante
\(W(x)=\left| \begin{array}{cc} g_1(x) & g_2(x) \\ g_1'(x) & g_2'(x) \end{array}\right|\)
não for identicamente nulo em I, as funções são linearmente independentes. Neste caso
\(W(x)=\left| \begin{array}{cc} e^{\alpha x} & e^{\beta x} \\ \alpha e^{\alpha x} & \beta e^{\beta x} \end{array}\right|= \beta e^{(\alpha+\beta)x} - \alpha e^{(\alpha+\beta)x} = (\alpha-\beta)e^{(\alpha+\beta)x}\)
Vemos então que neste caso, como \(\alpha \ne \beta\), o Wronskiano não se anula em nenhumintervalo e por isso estas duas função serão linearmente independentes em qualquer intervalo real.
Caso 2. Uma raíz real de multiplicidade 2.
\(y(x) = c_1 e^{\alpha x} + c_2 x e^{\alpha x}\)
\(g_1(x)= e^{\alpha x}, \qquad g_2(x)= x e^{\alpha x}\)
Caso 3. Duas raizes complexas conjugadas \(\alpha \pm i \beta\)
\(y(x) = c_1 \sin(\beta x) e^{\alpha x}+ c_2 \cos(\beta x) e^{\alpha x}\)
\(g_1(x)= \cos(\beta x) e^{\alpha x}, \qquad g_2(x)= \sin(\beta x) e^{\alpha x}\)
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