Determine, caso exista, o extremo da função

[marinacastro]

Não consegui nem começar esta :/

Enunciado:

Determine, caso exista, o extremo da função:

\(f(x,y) = x^2+xy-y^2-3x-3y+4\)

Obrigado gente!

[Sobolev]

Tratando-se de uma função diferenciável, definida num conjunto aberto (\(\mathbb{R}^2\)), os extremos ocorrem em pontos onde o gradiente se anula, isto é, onde as derivas parciais se anulam simultaneamente. Neste caso,

\(f'_x = 2x+y-3, \quad f'_y = x-2y-3\)

Obrigando as duas derivadas parciais a serem nulas, obtem um sistema linear que conduz a \(x = \frac 95, y = -\frac 35\). Este ponto é portanto o único que poderá ser extremante da função dada. Para esclarecer se é de facto um extremante podemos usar os critérios de segunda ordem (matriz Hesseana). Neste caso a matriz Hesseana, que contém as derivadas parciais de segunda ordem é dada por

\(H=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right)\)

Como esta matriz é indefinida (usar a cadeia dos menores principais), o ponto encontrado é um ponto de sela (não é extremante). A função não tem por isso extremos.