Sistema de Equaçoes Diferenciais

[José Tranta]

Neste problema a minha duvida passa unicamente, em encontrar a Matriz A do sistema. de modo a escrever na forma X′(t) = A.X(t) e posteriormente encontrar a solução.

Anexos

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[Sobolev]

Neste problema a minha duvida passa unicamente, em encontrar a Matriz A do sistema. de modo a escrever na forma X′(t) = A.X(t) e posteriormente encontrar a solução.

O enunciado tem uma gralha... na primeira equação falta a derivada de x_1 ...

\(\left\{\begin{array}{cr} x_1' = &2 x_1 + x_2 \\ x_2' = &x_1+3 x_2 + x_3 \\ x_3' =&x_2+2x_3 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left(\begin{array}{c}x_1' \\ x_2' \\ x_3'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)\)

Se o enunciado não estiver com erro, a primeira equação ( que não é nesse caso uma equação diferencial) permite escrever x_1 em função de x_2, restando um sistema de duas equações diferenciais em x_2 e x_3.

[José Tranta]

Poderia ser um pouco mais claro, é que julgo que no enunciado nao se encontra nenhuma gralha. Como ficará entao?

[Sobolev]

Quase certamente será gralha... Mas de qualquer maneira, se o enunciado for tal como colocou, da primeira equação teria

\(x_1 = -x_2\)

Substituindo na segunda equação,

\(x_2' = -x_2 + 3x _2 + x_3 \Leftrightarrow x_2 ' = 2 x_2 + x_3\)


Nesse caso, x_2 e x_3 são obtidos como solução do sistema

\(\left(\begin{array}{c} x_2' \\ x_3'\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x_2 \\ x_3\end{array}\right)\).

Finalmente, x_1 pode ser calculado como x_1 = -x_2.