Função continua equações diferenciais introdução

[ivoski]

Como calcular uma função f, contínua em (0;+infinito), tal que
f(x) = 1 + 1/x ∫ f(t) dt (observação: "a" e "b" da ∫ é 1 e x) -->sendo a=1 (parte de baixo) b=x (parte de cima) do sinal da integral
para todo x > 0.
Sugestão: Considere a derivada de f.

[Sobolev]

Seguindo a sugestão, e partindo do principio que

\(f(x)= 1+ \frac{1}{x} \int_1^x f(t)\,dt\)

temos

\(f'(x)= -\frac{1}{x^2} \int_1^x f(t)\,dt + \frac{1}{x} f(x) = -\frac{1}{x}(f(x)-1)+\frac{1}{x} f(x) = \frac{1}{x}\)

primitivando, obtemos

\(f(x)= \ln|x| + C\)

Como além disso podemos ver que f(1)=1, temos finalmente

\(f(x) = \ln|x| + 1\).