Equação não homogênea verificar se fiz certo

[Calculado]

Bom, descobri que tinha faltado esta aula, e peguei a matéria hoje.

Tentei fazer ela e gostaria que corrigisse ela, só pra saber se está certo, se possível corrigir a outra que vou postar que também resolvi.

\(Y'' - 4Y' +4Y=e^2^x\)

\(Y= Yhom + Ypar\)

\(Yh= r^2 - 4r +4\)

\(r1=r2=2\)

Logo, \(Yh= C1.e^2^x + C2.x.e^2^x\) .

Agora a solução particular.

\(Q(x)=A*e^2^x\)

\(Yp=A*e^2^x\)

\(Y'p=2A*e^2^x\)

\(Y''p=4A*e^2^x\)


Então \(Y'' - 4Y' +4Y=A*e^2^x\)
Substituindo,
\(4A*e^2^x - 4(2A*e^2^x) +4(A*e^2^x)=A*e^2^x\)

Simplificando

\(4A*e^2^x-8A*e^2^x+4A*e^2^x=A*e^2^x\)
\(0=A*e^2^x\)

Por relação

\(A=0\) então \(Yp=0\)




Então a resposta é \(Y = Yh + 0\), logo \(Y = C1.e^2^x + C2.x.e^2^x\)


E ai?? tudo está certo?

[josesousa]

Verificar tudo isso dá trabalho, mas tente ver se essa solução satisfaz a igualdade inicial. É o método mais fácil para ver se está correto

[Calculado]

Como faço isso?? tem como me explicar?

[João P. Ferreira]

pode sermpre usar o Wolfram, para verificar se está certo:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=so ... 5E%282x%29

[josesousa]

Tem a solução Y
Calcula Y'
Calcula Y''

Verifica se \(Y''+4Y'+4Y = e^{2x}\)

[Calculado]

Sim a Equação é Y''-4Y'+4Y=e^2x

O caso é que quando derivo Y' e Y'' e substituo, a soma dá 0.

4e^2x-8e^2x+4e^2x= e^2x

dá e^2x=0

[josesousa]

então só resolveste a homogenea. tens de calcular a solução particular

[Calculado]

esta já não é a solução particular?

[Sobolev]

Realmente y = 0 não é solução particular da equação... Se substituir na equação obtém \(0 = e^{2x}\). O que dificulta neste caso toda a questão é facto de o segundo membro da equação ser também solução da equação homogénea . Talvez o modo mais fácil de tratar a questão seja usar o método do polinómio aniquilador.

\(y''-4y'+4 = e^{2x} \Leftrightarrow (D-2)^2 y = e^{2x}\)

O método do polinómio aniquilador consiste em aplicar a ambos os membros da equação um polinómio em $D$ que anule o segundo membro. Como \((D-2) e^{2x} = 0\)
vemos que devemos multiplicar por (D-2) a eq. inicial, que ficará agora

\((D-2)^3 y = 0 \Leftrightarrow y = (C_1 + C_2 x +C_3 x^2) e^{2x} = (C_1+C_2x) e^{2x} + C_3 x^2 e^{2x}\)

Como a primeira parcela é a solução da eq.homogénea, vemos que a segunda parcela deverá ser a solução particular.

Em resumo, se quiser esquecer tudo o que está para cima, utilize o seu método mas procurando uma solução particular do tipo \(y_p(x) = C_3 x^2 e^{2x}\).

[Calculado]

Consegui resolver ela usando um método de perturbação matemática, e cheguei no resultado certo.
Mesmo assim gostei do seu metodo e vou tentar resolver assim.

Obrigado a todos.