Como provo esta fórmula através da fórmula de Leibniz

[Ricardo]

Boa noite, necessito de ajuda neste exercício. Ja tentei de tudo mas sem sucesso.

Sabendo que \(\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}f(x,y)dy= \int_{a}^{b}\frac{df}{dx}dy\), prove a fórmula de Leibniz:
\(\frac{d}{dx}\int_{a}^{b}f(x,y)dy= -f(x,a)\frac{da}{dx}+ f(x,b)\frac{db}{dx}+\int_{a}^{b}\frac{df}{dx}dy\)

onde a(x) e b(x) são deriváveis.

(Não sei se este é local correto do forum para este post, peço desculpa se não estiver no local correto)

[josesousa]

Na expressão de cima a e b são constantes, mas na de baixo não, não é? é que usas d/dx sem derivadas parciais e não deixas explícita a dependência de a e b de x.

[Ricardo]

Se calhar nao fui muito claro. Deixo em o exercício tal e qual como me foi apresentado.

Anexos

[josesousa]

Acho que o enunciado não faz sentido, porque ambos os termos do lado esquerdo são iguais, podendo ser diferentes os do lado direito.
Assim sendo, eu entendo que:
\(\frac{\partial }{\partial x}\int_a^b f(x,y)dy = \int_a^b \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dy\)
e
\(\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,y)dy = -f(x,a)\frac{da}{dx} + f(x,b)\frac{db}{dx} +\int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dy\)

[josesousa]

O resultado é quase trivial pela aplicação do teorema fundamental do cálculo em relação ao termo em y. Mas para ficar mais simples:

Assim sendo, chamemos a F(x,y) à primitiva em termos de y de f(x,y) ( \(F(x,y)=\int f(x,y)dy\) )
Então
\(\int_{a(x)}^{b(x)} f(x,y) dy = F(x,b(x))-F(x,a(x))\)

\(\frac{d}{dx} \[F(x,b(x))-F(x,a(x))\] =\)
\(\frac{\partial }{\partial x}\[F(x,b(x))-F(x,a(x))\] + \frac{\partial F(x,b(x))}{\partial b(x)} \frac{\partial b(x)}{\partial x}- \frac{\partial F(x,a(x))}{\partial a(x)} \frac{\partial a(x)}{\partial y}=\)
\(\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} dy + f(x,b(x)) \frac{\partial b(x)}{\partial x}- f(x,a(x)) \frac{\partial a(x)}{\partial y}\)

[Ricardo]

Muito Obrigado pela Resposta!!

[Ricardo]

Peço desculpa estar novamente a incomodar, mas nao percebo o que vem a seguir a : \(\frac{d}{dx}[F(x,b(x))- F(x,a(x))]=...\)

Se pudesse explicar como chega à equação a seguir a esta ficava profundamente agradecido!

[josesousa]

Repara que tens derivada TOTAL em ordem a x de uma função de x, a(x) e b(x)

Isso é igual à soma das derivadas PARCIAIS dessa função em ordem a x, a(x) e b(x)

Olha para o que está dentro de parênteses como uma função de 3 variáveis (ainda que a e b depois dependam de x)