Resolver t³y'(t)+4t²y(t)=-e^(-t), com y(1)=5e^(-1) e t>0
17 jun 2012, 00:50
Bom pessoal, estava fazendo um exercício de equações diferenciais , e não consigo achar a resposta.
A questão é inicialmente simples, porém não estou conseguindo desenvolver ela.
Questão : Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a) t³y'(t) + 4t²y(t) = -e-t, satisfazendo y(1)=5e-1 e t>0.
b)y''(t) -4y'(t) + 5y(t) =10t -3, satisfazendo y(0) = 1 e y'(0)=5.
Aí então eu comecei a desenvolver a letra A.
Comecei dividindo tudo por t³.
y'(t) + 4t-1y(t) = -e-t(t-3)
Achei o fator integrante : exp(( integral de 4t-1dt))
Porém parei ai , porque fala que o fator integrante é t4, não sei como chegar a isso.
E na letra B, fiz a equação particular que é yp=At + B , yp'=A , substituindo : -4A + 5At + 5B = 10 t -3
A = 10
B=-3/5
Mas aí fala que yp=2t+1 , ou seja , A=2 E B=1.
Agradeceria se alguém pudesse me ajudar.
Eu tenho a resposta final , só não tenho o desenvolvimento dela.
Caso alguém queria a resposta final, é só pedir.
Estarei esperando a resposta, Grato.
A questão é inicialmente simples, porém não estou conseguindo desenvolver ela.
Questão : Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a) t³y'(t) + 4t²y(t) = -e-t, satisfazendo y(1)=5e-1 e t>0.
b)y''(t) -4y'(t) + 5y(t) =10t -3, satisfazendo y(0) = 1 e y'(0)=5.
Aí então eu comecei a desenvolver a letra A.
Comecei dividindo tudo por t³.
y'(t) + 4t-1y(t) = -e-t(t-3)
Achei o fator integrante : exp(( integral de 4t-1dt))
Porém parei ai , porque fala que o fator integrante é t4, não sei como chegar a isso.
E na letra B, fiz a equação particular que é yp=At + B , yp'=A , substituindo : -4A + 5At + 5B = 10 t -3
A = 10
B=-3/5
Mas aí fala que yp=2t+1 , ou seja , A=2 E B=1.
Agradeceria se alguém pudesse me ajudar.
Eu tenho a resposta final , só não tenho o desenvolvimento dela.
Caso alguém queria a resposta final, é só pedir.
Estarei esperando a resposta, Grato.
Re: Dúvida - Equações diferenciais.
17 jun 2012, 01:42
Repare que
\(t^3y'(t) + 4t^2y(t) = -e^{-t}\)
é equivalente a
\(t^4y'(t) + 4t^3y(t) = -t.e^{-t}\)
ou seja
\((t^4.y(t))' = -t.e^{-t}\)
\(t^3y'(t) + 4t^2y(t) = -e^{-t}\)
é equivalente a
\(t^4y'(t) + 4t^3y(t) = -t.e^{-t}\)
ou seja
\((t^4.y(t))' = -t.e^{-t}\)
Re: Dúvida - Equações diferenciais.
17 jun 2012, 04:57
Obrigado José Souza, acho que consigo desenvolver agora.
Ficaria assim :
Fator integrante : \(e^{\int4t^3}=e^{t^{4}}\)
Multiplicando o fator integrante na equação: \((t^4y)'=-t^4e^{-t}\)
Integrando : \(t^4y=(1+t)e^{-t} + c\)
Substituindo \(y(1)=5e^{-1}\) : \(c=3e^{-1}\)
Resposta final : \(y(t)=\frac{3e^{-1} + (t + 1)e^{-1}}{t^4}\)
Agora deu certo.
Aproveitando o gancho, você sabe como ficaria a outra parte da questão ?
Obrigado !
Ficaria assim :
Fator integrante : \(e^{\int4t^3}=e^{t^{4}}\)
Multiplicando o fator integrante na equação: \((t^4y)'=-t^4e^{-t}\)
Integrando : \(t^4y=(1+t)e^{-t} + c\)
Substituindo \(y(1)=5e^{-1}\) : \(c=3e^{-1}\)
Resposta final : \(y(t)=\frac{3e^{-1} + (t + 1)e^{-1}}{t^4}\)
Agora deu certo.
Aproveitando o gancho, você sabe como ficaria a outra parte da questão ?
Obrigado !
Re: Dúvida - Equações diferenciais.
17 jun 2012, 05:40
José, pode deixar, estava errado em uma detalhe muito fácil. Acho que consegui resolver a outra parte.
Acho que ficaria assim.
Da solução particular
\(yp=at+b\)
\(y'p=a\)
\(y''-4y'+5y=10t-3\)
\(-4a+5at+5b=10t-3\)
\(5a=10\) :. a=2
\(-4a+5b=-3\) :. b=1
\(yp=2t + 1\)
Da solução homogênea
\(y''-4y'+5y=10t-3\)
\(x^2-4x+5=0\)
\(x=2+-i\)
\(y=e^{2t}(c1sent+c2cost)\)
Após substituir y(0)=1 e y'(0)=5 , c1=3 e c2=0
Então \(y=3e^{2t}sent+2t+1\)
Bom , acho que era isso.
Obrigado.
Acho que ficaria assim.
Da solução particular
\(yp=at+b\)
\(y'p=a\)
\(y''-4y'+5y=10t-3\)
\(-4a+5at+5b=10t-3\)
\(5a=10\) :. a=2
\(-4a+5b=-3\) :. b=1
\(yp=2t + 1\)
Da solução homogênea
\(y''-4y'+5y=10t-3\)
\(x^2-4x+5=0\)
\(x=2+-i\)
\(y=e^{2t}(c1sent+c2cost)\)
Após substituir y(0)=1 e y'(0)=5 , c1=3 e c2=0
Então \(y=3e^{2t}sent+2t+1\)
Bom , acho que era isso.
Obrigado.
Re: Dúvida - Equações diferenciais.
17 jun 2012, 10:45
De nada. Não tinha tempo para responder à segunda pergunta, mas já vi que não é necessário neste momento!
Saudações Pitagóricas
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