Equação Diferencial

[albersonmiranda]

Em um artigo há a seguinte função:

\(\dot{K}=sK^a(L_{0}e^{nt})^{1-a}\)

Nele foi apresentada a solução abaixo:

\(K(t)=[K{_{0}}^{1-a}-\frac{s}{n}L{_{0}}^{1-a}+\frac{s}{n}L{_{0}}^{1-a}e^{nt(1-a)}]^\frac{1}{1-a}\)

Acredito que a passagem foi uma integral dupla em (t) e (a) mas não obtive o mesmo resultado. Alguma ideia?

Anexos

[Rui Carpentier]

Acredito que a passagem foi uma integral dupla em (t) e (a) mas não obtive o mesmo resultado. Alguma ideia?

Não me parece que tenha sido uma integral dupla. Se exprimentar integrar a expressão \(\dot{K}K^{-a}=s(L_0e^{nt})^{1-a}\) apenas na variável t vai ver que obtem o resultado esperado.

[albersonmiranda]

Acredito que a passagem foi uma integral dupla em (t) e (a) mas não obtive o mesmo resultado. Alguma ideia?

Não me parece que tenha sido uma integral dupla. Se exprimentar integrar a expressão \(\dot{K}K^{-a}=s(L_0e^{nt})^{1-a}\) apenas na variável t vai ver que obtem o resultado esperado.

Essa é uma boa notícia! Entretanto, ainda não consigo ver. Poderia desenvolver? Só consegui chegar no abaixo:

\(\dot{K}K^{-a}=\int s(L_{0}e^{nt})^{1-a}dt\)

\(=sL_{0}^{1-a}\int e^{nt}^{(1-a)}dt\)

\(=sL_{0}^{1-a}\int e^u\frac{du}{n(1-a)}\)

\(=sL_{0}^{1-a}\frac{1}{n(1-a)}e^{nt(1-a)}+K_{0}\)

[Rui Carpentier]

Não se esqueça de integrar também a primeira parcela da igualdade: \(\int \dot{K}(t)K^{-a}(t)dt =\frac{K^{1-a}}{1-a}\). Além disso a constante na segunda parcela não é \(K_0\).

[albersonmiranda]

Não se esqueça de integrar também a primeira parcela da igualdade: \(\int \dot{K}(t)K^{-a}(t)dt =\frac{K^{1-a}}{1-a}\). Além disso a constante na segunda parcela não é \(K_0\).

Não compreendi essa passagem. Integrando a primeira parcela cheguei no mesmo resultado da segunda parcela

(obs.: como se move o tópico? não conhecia o fórum quando postei e este tópico não pertence em equações difenciais)

[Rui Carpentier]

Se \(f=g\) então \(\int_0^t f(\xi)d\xi=\int_0^t g(\xi)d\xi\). Logo se \(\dot{K}K^{-a}=s(L_0e^{nt})^{1-a}\) então ...

[albersonmiranda]

Desculpe, ainda estou pensando errado!

\(\int \dot{K}K^{-a}=\int sL_{0}^{1-a}e^{nt(1-a)}\)

\(K^{-a}\int \dot{K}=sL_{0}^{1-a}\int e^{nt(1-a)}\)

\(K^{-a}K=sL_{0}^{1-a}e^{nt(1-a)}\frac{1}{n(1-a)}\)

\(K^{1-a}=sL_{0}^{1-a}e^{nt(1-a)}\frac{1}{n(1-a)}\)

\(K=\left (sL_{0}^{1-a}e^{nt(1-a)}\frac{1}{n(1-a)} \right )^{\frac{1}{1-a}}\)

Isso já está me deixando louco

[Sobolev]

Lembre-se como calcular a primitiva de uma potência... foi o primeiro erro no seu último post...

\(\int f'(x) [f(x)]^c \,dx = \frac{[f(x)]^{c+1}}{c+1} + Cet\)

\(\int_0^t K'(\xi)(K(\xi))^{-a} d \xi = \int_0^t s L_0^{1-a} e^{n \xi (1-a)} \, d \xi \Leftrightarrow
\frac{(K(t))^{-a+1}}{-a+1} - \frac{(K(0))^{-a+1}}{-a+1} = sL_0^{1-a} \left(\frac{e^{nt(1-a)}}{n(1-a)}-\frac{1}{n(1-a)}\right) \Leftrightarrow
K(t)=\left( (K(0))^{1-a} + sL_0^{1-a} \cdot \frac{e^{nt(1-a)}}{n} - \frac{s}{n}L_0^{1-a}\right)^{1/(1-a)} \Leftrightarrow
K(t) = \left( K_0^b + \frac{s}{n}L_0^{1-a} e^{nbt} - \frac{s}{n} L_0^b\right)\)

[albersonmiranda]

Eis o problema, eu tinha obliterado essa propriedade da primitiva de potência da minha cabeça!

Obrigado!