Equações homogêneas
05 mar 2014, 15:15
utilizando o método de equações homogêneas, resolva o problema de valor inicial (PVI).
\((x^{2}+y^{2})dx-xydy = 0, y(1)=0\)
\((x^{2}+y^{2})dx-xydy = 0, y(1)=0\)
Re: Equações homogêneas [resolvida]
05 mar 2014, 15:45
Deve começar por considerar uma mudança de variável... Digamos para x>0, e usando w = y/x a equação passa a ser
\((x^2+y^2)dx -xy dy = 0 \Leftrightarrow
(1+ y^2/x^2)dx - (xy/x^2) dy = 0 \Leftrightarrow
(1+w^2)dx - w (x dw + w dx) = 0 \Leftrightarrow
dx - xw dw = 0 \Leftrightarrow
w dw = \frac{1}{x}dx \Leftrightarrow\)
Consegue prosseguir?
\((x^2+y^2)dx -xy dy = 0 \Leftrightarrow
(1+ y^2/x^2)dx - (xy/x^2) dy = 0 \Leftrightarrow
(1+w^2)dx - w (x dw + w dx) = 0 \Leftrightarrow
dx - xw dw = 0 \Leftrightarrow
w dw = \frac{1}{x}dx \Leftrightarrow\)
Consegue prosseguir?
Re: Equações homogêneas
05 mar 2014, 16:03
Não, mas obg!
Re: Equações homogêneas
05 mar 2014, 16:05
É uma equação de variáveis separáveis. Encontrará facilmente o método de resolução.
Re: Equações homogêneas
05 mar 2014, 16:19
Obrigado!
Re: Equações homogêneas
05 mar 2014, 23:38
Eu sei que a questão pede para usar o metódo de equações homogêneas, mas deixo aqui minha contribuição (utilizando fator integrante) :
\(\LARGE \mu(x)=e^{-\int \; \left(\frac{\frac{\partial f_{2}}{\partial x}-\frac{\partial f_{1}}{\partial y}}{f_{2}} \right) \; dx }=e^{-3*\ln(x)}=\frac{1}{x^3}\)
então multiplicando toda a eq. diferencial pelo fator integrante, obtemos:
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{y^2}{x^3} \right)\; dx - \frac{y}{x^2} \; dy=0\)
como o campo é conservativo,bastar encontramos a solução do tipo : \(\psi(x,y)=C\).Segue que:
\(\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{1}{x}+\frac{y^2}{x^3} \;\; , \;\; (I)\)
\(\frac{\partial \psi}{\partial y}=- \frac{y}{x^2} \;\; , \;\; (II)\)
Integrando \((I)\) em relação a \(x\) :
\(\psi=\ln(x)-\frac{y^2}{2x^2}+k(y)\)
derivando esse resultado em relação a \(y\) ,obtemos:
\(\frac{\partial \psi}{\partial y}=-\frac{y}{x^2}+k^{\prime}(y)\) , comparando com \((II)\) obtemos \(k'(y)=0 \;\; \Leftrightarrow \;\; k(y)=C\), então a função \(\psi\) é \(\psi(x,y)=\ln(x)-\frac{y^2}{2x^2}+C\), e a nossa solução é dada implicitamente por :
\(\large \fbox{\fbox{\fbox{\ln(x)-\frac{y^2}{2x^2}=C_{1} }}}\)
PS: só faltar calcular o valor da constante.
\(\LARGE \mu(x)=e^{-\int \; \left(\frac{\frac{\partial f_{2}}{\partial x}-\frac{\partial f_{1}}{\partial y}}{f_{2}} \right) \; dx }=e^{-3*\ln(x)}=\frac{1}{x^3}\)
então multiplicando toda a eq. diferencial pelo fator integrante, obtemos:
\(\left(\frac{1}{x}+\frac{y^2}{x^3} \right)\; dx - \frac{y}{x^2} \; dy=0\)
como o campo é conservativo,bastar encontramos a solução do tipo : \(\psi(x,y)=C\).Segue que:
\(\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{1}{x}+\frac{y^2}{x^3} \;\; , \;\; (I)\)
\(\frac{\partial \psi}{\partial y}=- \frac{y}{x^2} \;\; , \;\; (II)\)
Integrando \((I)\) em relação a \(x\) :
\(\psi=\ln(x)-\frac{y^2}{2x^2}+k(y)\)
derivando esse resultado em relação a \(y\) ,obtemos:
\(\frac{\partial \psi}{\partial y}=-\frac{y}{x^2}+k^{\prime}(y)\) , comparando com \((II)\) obtemos \(k'(y)=0 \;\; \Leftrightarrow \;\; k(y)=C\), então a função \(\psi\) é \(\psi(x,y)=\ln(x)-\frac{y^2}{2x^2}+C\), e a nossa solução é dada implicitamente por :
\(\large \fbox{\fbox{\fbox{\ln(x)-\frac{y^2}{2x^2}=C_{1} }}}\)
PS: só faltar calcular o valor da constante.
Editado pela última vez por Man Utd em 06 mar 2014, 15:34, num total de 1 vez.
Razão: Resposta Editada
Razão: Resposta Editada
Re: Equações homogêneas
06 mar 2014, 01:09
Man Utd,
A expressão a que chega no final (depois de calculada a constante) não define implicitamente uma solução da equação proposta... O problema vem do início, já que x não é factor integrante da eq.
A expressão a que chega no final (depois de calculada a constante) não define implicitamente uma solução da equação proposta... O problema vem do início, já que x não é factor integrante da eq.
Re: Equações homogêneas
06 mar 2014, 15:36
Sobolev Escreveu:Man Utd,
A expressão a que chega no final (depois de calculada a constante) não define implicitamente uma solução da equação proposta... O problema vem do início, já que x não é factor integrante da eq.
Obrigado Amigo Sobolev pela correção, é verdade eu tinha errado no ínicio.
Grande abraço.