Equação diferencial - Auxílio para resolução.

[NiGoRi]

\(\frac{dy}{dx}=\frac{y^2+2xy}{x^2}\)

[Man Utd]

Olá :D


Veja que :


\(\frac{dy}{dx}=\frac{y^2}{x^2}+\frac{2xy}{x^2}\)

\(\frac{dy}{dx}=\left(\frac{y}{x}\right)^2+\frac{2y}{x}\)


então faça a substituição: \(u=\frac{y}{x} \;\;\; \Rightarrow \;\;\; y^{\prime}=u^{\prime}x+u\) :


\(u^{\prime}x+u=u^2+2u\)


\(u^{\prime}x=u^2+u\)


\(\frac{du}{dx} \cdot \frac{1}{u^2+u}=\frac{1}{x}\)


\(\frac{du}{u^2+u}=\frac{1}{x} \; dx\)


\(\int \; \frac{du}{u^2+u}=\int \; \frac{1}{x} \; dx\)


\(\ln|u|-\ln|u-1|=\ln|x|+C\)


\(\ln \left| \frac{u}{u-1} \right|=\ln|x|+C\)


\(\frac{u}{u-1} =|x|+C_{1}\)


\(\fbox{\fbox{\fbox{\frac{\frac{y}{x}}{\frac{y}{x}-1} =|x|+C_{1}}}}\)