determinar a solução do pvi ------ y'' + 3y' = 0, y(0) = -2, y'(0) = 3

[Daianne]

y'' + 3y' = 0, y(0) = -2, y'(0) = 3

[João P. Ferreira]

o polinómio característico da EDO é \(D^2+3D\)

ache os zeros deste polinómio.

Fico à espera

[PatriciaS]

tb n consigo resolver...

os zeros sao 0 e -3?

[santhiago]

Se definir \(\phi = y'\) ; substituindo-se na EDO ,tem-se
\(\phi' + 3\phi = 0\) o que implica que \(\phi = 3\exp(x)\) ,i.e,

\(y'(x) = 3\exp(x)\) ; Integrando-se de 0 a x obterá y(x) .

\(\int_0^x y'(\zeta) d\zeta = 3 \int_0^x \exp(\zeta) d\zeta\) ...

[Man Utd]

Outra maneira seria utilizar a transformada de Laplace :


\(\mathcal{L} \left{ y \right}=Y(s)\)


\(\mathcal{L} \left{ y'\right}=sY(s)-y(0)\)


\(\mathcal{L} \left{ y'' \right}=s^2Y(s)-sy(0)-y^{\prime}(0)\)


Então aplicando a transformada de laplace em ambos os membros :


\(\mathcal{L} \left{ y'' \right}+3\mathcal{L} \left{ y'\right}=0\)


\(s^2Y(s)-sy(0)-y^{\prime}(0)+3(sY(s)-y(0))=0\)


\(s^2Y(s)-sy(0)-y^{\prime}(0)+3sY(s)-3y(0)=0\)


\(s^2Y(s)+2s-3+3sY(s)+6 \equiv 0\)


\(Y(s)=\frac{-3-2s}{s^2+3s}\)



Para obter a transformada inversa de laplace pode recorrer a frações parciais ou ainda utilizar A Fórmula de Desenvolvimento de Heaviside, deixo como exercício obter a inversa que será dada por :


\(y(t)=-1-e^{-3t}\) , que é a solução do PVI.