Dada uma função algébrica, como saber qual equação diferencial ela satisfaz?

[Jhenrique]

Dada uma função algébrica, como saber qual equação diferencial ela satisfaz? Por exemplo, a equação quadrática satisfaz d²f/dx²=k. E a equação cônica, qual por exemplo, qual ED ela satisfaz?

[josesousa]

Se tiver \(y=f(x)\) é fácil: \(y'=f´(x)\) é a equação diferencial.

Também pode ter \(F(x,y)=0\)

Assumindo \(y=y(x)\)

\(F(x,y(x))=0\)
\(\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x})=0\)
\(\frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y}y'(x)=0\)
\(\frac{\partial F}{\partial y}y'(x)=-\frac{\partial F}{\partial x}\)
\(y'(x)=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}}\)

que resulta no teorema da função implícita...

Não é fácil generalizar