Equações Diferenciais não Homogêneas - Solução para equação.

[Ladislau Junior]

Pessoal boa noite,

Sou novo no forum mas preciso realmente de ajuda; estou a horas tentando resolver a seguinte equação: y"-y'=x*e^(x) e não consigo determinar corretamente a função particular Yp.

Yc=C1+Ce^(x)

Yp=?

Desde já agradeço.

[Sobolev]

Deve experimentar uma solução particular do tipo \(y_p(x)=(ax^2+bx)e^{x}\). Pode apercerber-se disto usando o método do polinómio aniquilador.

\(y''-y'=xe^x \Leftrightarrow (D^2-D) y = e e^{x} \Rightarrow (D-1)^2 (D^2-D) y = 0 \Rightarrow
D(D-1)^3 y = 0 \Rightarrow y = A + (B_1+B_2x + B_3 x^2) e^x \Rightarrow
y = (A + B_1 e^x) + (B_2 x + B_3 x^2)e^x\)

na última expressão de y a primeira parcela corresponde à solução geral da eq.homogénea, pelo que a segunda parcela corresponde a uma sol. particular da eq.não homogênea.