Obter solução geral da eq. diferencia exata (3x^2*y+2)dx+(x^3+y)dy=0

[lgantus]

Por favor, me ajudem.

Obter solução geral da eq. diferencia exata (3x^2*y+2)dx+(x^3+y)dy=0

e preciso da particular sabendo que y(0)=1

Obrigado amigos.

[josesousa]

Está na forma

\(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\)

Temos que

\(\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=3x^2\)

Logo temos uma eq. diferencial exata. A solução é F(x,y) tal que

\(\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)\)

e

\(\frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)\)

Resolvendo

\(\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)\)
\(F(x,y)=\int M(x,y) dx\)
\(F(x,y)=\int 3x^2y+2 dx=x^3.y+2x+g(y)\)

Usando esta solução na outra igualdade

\(\frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)\)
\(\frac{\partial (x^3.y+2x+g(y))}{\partial y}=x^3+y\)
\(x^3+g'(y)=x^3+y\)
\(g'(y)=y\)
\(g(y)=y^2/2+C\)

Logo a solução é dada por
\(F(x,y)=0\)
\(x^3.y+2x+y^2/2+C=0\)