Operadores prova por exemplo ou contra exemplo

[ivoski]

Prove ou exiba um contra-exemplo:
Dados os operadores L1 e L2, de coeficientes constantes, sejam ϕ1 e ϕ2 funções tais
que L2(ϕ2) = 0
então
(L1.L2)(ϕ1 + ϕ2) = 0.

[Sobolev]

É mesmo este o enunciado? Será que não é também dito que \(L_1 \phi_1 = 0\)?

Supondo que o enunciado é mesmo o que colocou no post, basta considerar \(L_1 = L_2 = D\), \(\phi_2 = 1\) e \(\phi_1 = e^{t}\). Deste modo \(L_2 \phi 2 = D (1) = 0\) mas \(L_1 L_2 (\phi_1 +\phi_2) = D( e^t + 0) = e^{t}\).

[ivoski]

Desculpa faltou dizer que L1(ϕ1) = 0 e L2(ϕ2) = 0
O enunciado completo é:
Dados os operadores L1 e L2, de coeficientes constantes, sejam ϕ1 e ϕ2 funções tais
que L1(ϕ1) = 0 e L2(ϕ2) = 0
então (L1.L2)(ϕ1 + ϕ2) = 0.′′

[ivoski]

É mesmo este o enunciado? Será que não é também dito que \(L_1 \phi_1 = 0\)?

Supondo que o enunciado é mesmo o que colocou no post, basta considerar \(L_1 = L_2 = D\), \(\phi_2 = 1\) e \(\phi_1 = e^{t}\). Deste modo \(L_2 \phi 2 = D (1) = 0\) mas \(L_1 L_2 (\phi_1 +\phi_2) = D( e^t + 0) = e^{t}\).

Sim faltou dizer que L1(ϕ1) = 0 e L2(ϕ2) = 0

[Sobolev]

\(L_1( L_2(\phi_1 + \phi_2)) = L_1 (L_2 \phi_1+ L_2\phi_2 = L_1 L_2 \phi_1 = L_2 L_1 \phi_1 = L_2 0 = {0}\)

O passo essencial é reconhecer que os operadores deste tipo comutam.