Dúvida Eq. Homogénea y²-2xy+x²y'=0 com substituição y=ux

[Catherine]

Devo estar errando uma coisa idiota, mas não chego na solução.
Ajuda por favor

\(y^2-2xy+x^2y'=0
y=ux
dy/dx=(2xy-y^2)/x^2
u+xdu/dx=(2x^2u-u^2x^2)/x^2
Simplificando
xdu/dx=u-u^2
\int du/(u-u^2)=\int dx/x
-ln((u-1)/u)=lnx + C
C1x=(u-1)/u
Voltando
y=-x/(C1x-1)
Resposta HP:
y=x^2/(x+C)
Resposta livro:
y=Cx^2/(Cx+1)\)
PS: gostaria de ajuda na resolução da integral \(\int du/(u-u^2)\)

Obrigada

[João P. Ferreira]

A resposta HP (o que é HP?) é igual ao livro

repare que \(\frac{Cx^2}{Cx+1}=\frac{x^2}{x+1/C}\)

fazendo \(C=1/K\) (é tudo constante)

\(\frac{x^2}{x+1/C}=\frac{x^2}{x+K}\)

\(K\) ou \(C\) são apenas constantes

em relaçâo ao integral quem tem dúvidas

\(\int \frac{du}{u-u^2}=\int \frac{du}{(1-u)u}\)

\(\frac{1}{(1-u)u}=\frac{A}{1-u}+\frac{B}{u}\)

\(A=1\) e \(B=1\)

\(\int \frac{du}{(1-u)u}=\int \frac{du}{1-u}+\int \frac{du}{u}=-ln\left | 1-u \right | + \ln\left | u \right |=ln\left | \frac{u}{1-u} \right | + C\)

[Catherine]

Ok. Obrigada.

Mas o que tem de errado com a minha resolução? Pois, como postei na minha dúvida, achei y=-x/(Cx-1)

HP é uma calculadora gráfica da marca HP.. Rsrs

[João P. Ferreira]

não analisei ainda totalmente o resto mas esta passagem está errada

\(-ln((u-1)/u)=lnx + C\)
\(C1x=(u-1)/u\)

\(-ln((u-1)/u)=lnx + C\)

\(ln(((u-1)/u)^{-1})=lnx + C\)

\(((u-1)/u)^{-1}=x.C\)

\(\frac{u}{u-1}=x.C\)

lembre-se que \(a.ln(b)=ln(b^a)\)

[Catherine]

Olha, muito obrigada. Era exatamente aí que estava errando. Consegui chegar ao resultado.

[João P. Ferreira]

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