equações diferenciais lineares

[cattesp]

Boa Tarde,

Como é que se calcula a solução geral da seguinte função linear?

xy'+(2x+1)/(x+1)y=x-1

Alguém me pode ajudar?

Obrigado.

Cumprimentos

[Man Utd]

dada a equação diferencial : \(y^{\prime}+\frac{2x+1}{x^2+x}*y=\frac{x-1}{x}\)


Observamos que é uma equação diferencial linear não-homogenea, posto que é da forma : \(y'+P(x)*y=f(x)\), então vamos calcular o fator integrante que é dado por : \(\mu(x)=e^{\int \; P(x) \; dx}=e^{\int \; \frac{2x+1}{x^2+x} \; dx}=x^2+x\) :



\((x^2+x)*y^{\prime}+(x^2+x)*\frac{2x+1}{x^2+x}*y=\frac{(x-1)*(x^2+x)}{x}\)


\((x^2+x)*y^{\prime}+(x^2+x)*\frac{2x+1}{x^2+x}*y=\frac{(x-1)*(x^2+x)}{x}\)


\(\frac{d((x^2+x)*y)}{dx}=x^2-1\)



integrando os dois lados em relação a "x":




\(\displaystyle \int \;\frac{d((x^2+x)*y)}{dx} dx=\int \; x^2-1 \; dx\)


\((x^2+x)*y=\frac{x^{3}}{3}-x +C\)


\(y=\frac{\frac{x^{3}}{3}-x +C}{x^2+x}\)

[cattesp]

Muito Obrigado