Solução geral Equação diferencial

[cattesp]

Boa Noite,

Alguém me pode explicar como é que eu determino a solução geral da equação correspondente a submeter o oscilador à força exterior y^''+2y^'+y=e^(-t)*cos(√3t) ?

Obrigado.

Cumprimentos

[flaviosouza37]

ja tentou aplicando transformada de laplace?

[cattesp]

Não pode ser pela transformada de laplace. Tem de ser pelos coeficientes indeterminados.

[Sobolev]

Pode começar por determinar a solução geral da equação homogénea y''+2y'+y=0, que é \(y_h = (At + B)e^t\). Para determinar a solução geral da equação completa, "basta" agora procurar uma solução particular da equação. Podemos tentar uma solução particular "semelhante" ao segundo membro da equação, por exemplo
\(y_p = e^{-t}(C_1 \cos(\sqrt{3}t) + C_2 \sin(\sqrt{3} t))\)

(poderiamos incluir apenas o cosseno, mas corriamos o risco de não funcionar e ter que regressar a este ponto depois de fazer uma quantidade de cálculos...)

Substituindo da eq. diferencial temos

\(y_p''+2 y_p' +y = e^{-t}\cos(\sqrt{3}t) \Leftrightarrow
\left(2 \sqrt{3} \text{C1} e^{-t} \sin \left(\sqrt{3} t\right)-2 \text{C1} e^{-t} \cos\left(\sqrt{3} t\right)-2 \text{C2} e^{-t} \sin \left(\sqrt{3} t\right)-2 \sqrt{3} \text{C2} e^{-t} \cos \left(\sqrt{3} t\right)\right) +
2\left( -\sqrt{3} \text{C1} e^{-t} \sin \left(\sqrt{3} t\right)-\text{C1} e^{-t} \cos \left(\sqrt{3} t\right)-\text{C2} e^{-t} \sin \left(\sqrt{3} t\right)+\sqrt{3} \text{C2} e^{-t} \cos \left(\sqrt{3} t\right)\right)+\text{C1} e^{-t} \cos \left(\sqrt{3} t\right)+\text{C2} e^{-t} \sin \left(\sqrt{3} t\right) = e^{-t}\cos(\sqrt{3}t)\Leftrightarrow
-3 e^{-t} \left(\text{C1} \cos \left(\sqrt{3} t\right)+\text{C2} \sin \left(\sqrt{3} t\right)\right) = e^{-t}\cos(\sqrt{3}t) \Leftrightarrow
-3C_1 = 1, -3C_2 = 0\)

Deste modo, teremos \(y_p(t)= -\frac 13 \cos(\sqrt{3}t) e^{-t}\), pelo que

\(y(t)=y_h(t)+y_p(t)=(At + B)e^t -\frac 13 \cos(\sqrt{3}t) e^{-t}\)