Equação Diferencial Ordinária

[Durval]

1) Resolva o sistema dx/y = dy/dx = dz/z.

2) Resolva o PVI:
y" - 4y' + 13y = 0; y(0) = -1, y'(0) = 2

[Sobolev]

Uma questão por tópico...

\(y" - 4y' + 13y = 0 \Leftrightarrow (D^2-4D+13) y = 0\)

Basta determinar as raizes do polinómio característico \(D^2-4D+13 = \mathrm{0} \Leftrightarrow D= 2 \pm 3i\). Assim, a solução geral será

\(y = e^{2x} ( c_1 \cos(3x) + c_2 \sin(3x))\)

Agora basta determinar c1 e c2 de modo a verificar as condições iniciais.
\(y(0)=-1, y'(0) = 2
c_1 = -1, c_2=4/3\)

[Man Utd]

Por transformada de laplace :


\(\mathcal{L} \; \left{y'' \right}-4\mathcal{L} \left{y' \right}+13\mathcal{L} \left{ y \right}=0\)



\(s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)-4(sY(s)-y(0))+13Y(s)=0\)



\(s^{2}Y(s)+s-2-4sY(s)-4+13Y(s)=0\)




\(s^{2}Y(s)-4sY(s)+13Y(s)=6-s\)



\(Y(s)(s^{2}-4s+13)=6-s\)




\(Y(s)=\frac{6-s}{s^2-4s+13}\)




\(Y(s)=\frac{6}{s^2-4s+13}-\frac{s}{s^2-4s+13}\)




\(Y(s)=\frac{6}{s^2-4s+13}-\left(\frac{s-2+2}{s^2-4x+13} \right)\)



\(Y(s)=\frac{6}{s^2-4s+13}-\left(\frac{s-2}{s^2-4s+13} + \frac{2}{s^2-4s+13} \right)\)



completando quadrados:



\(Y(s)=\frac{6}{(s-2)^{2}+9}-\frac{s-2}{(s-2)^{2}+9}-\frac{2}{(s-2)^2+9}\)



calculando a inversa da transformada de laplace obtemos :


\(y(t)=2*e^{2t}*sen(3t)-e^{2t}*cos(3t)-\frac{2}{3}*e^{2t}*sen(3t)\)


\(\fbox{\fbox{\fbox{y(t)=\frac{1}{3}*\left( 4*e^{2t}*sen(3t)-3e^{2t}*cos(3t) \right)}}}\)