Determinar equação diferencial

[loisans]

Seja F(x,y,y')=0 a equação diferencial admite como solução geral a família de curvas \(x^{2}y=\frac{C}{y^{3}}-1\) em que C é uma constante arbitrária.

1. Determine a equação diferencial cuja solução geral é a expressão anterior.

2. Determine a expressao da curva integral que intersecta a curva y=1+ln(x-1), no ponto de ordenada unitária.

[João P. Ferreira]

Boas,

a expressão é equivalente a

\(x^2.y^4=C-y^3\)

Derivando dos dois lados em ordem a x e considerando que y=y(x)

ficamos com

\(2x.y^4+4.y'.y^3.x^2=-3.y'.y^2\)

simplificando

\(2x.y^4+4.y'.y^3.x^2+3.y'.y^2=0\)

\(y'.y^2(4yx^2+3)=-2xy^4\)

\(y'(4yx^2+3)=-2xy^2\)

\(y'=\frac{-2xy^2}{4yx^2+3}\)

Cumprimentos