Obter a segunda solução da E.D de Laguerre usando Wronskiano

[Regina]

Olá pessoal, preciso saber como determinar a segunda solução da equação de Laguerre, xy''+(1-x)y'+ny=0, para n=0, sabendo que \(y_1(x)=1\)
é uma solução, e usando a fórmula do wronskiano:

\(y_2(x)=y_1(x)\int\frac{e^{-\int p(x)dx}}{[y_1(x)]^2}dx\)

Ficarei muito grato com a ajuda.

[Man Utd]

Olá:D


A redução de ordem funciona para uma equação do tipo : \(y''+p(x)y'+q(x)y=0\) logo : \(p(x)=\frac{1-x}{x}\), utilizando a fórmula :


\(y_{2}(x)=\int \; e^{\left( -\int \frac{1-x}{x} \; dx \right)} \; dx\)


\(y_{2}(x)=\int \; e^{\left( x-\ln x \right)} \; dx\)


\(y_{2}(x)=\int \; \frac{e^{x}}{x} \; dx\)



ora \(\frac{e^{x}}{x}\) não tem primitiva em termos de funções elementares,logo vamos usar uma expansão em série :



\(y_{2}(x)=\int \; \frac{ \sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{x^n}{n!} }{x} \; dx\)



\(y_{2}(x)=\int \; \sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{x^{n-1}}{n!} \; dx\)



\(y_{2}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{x^{n-1+1}}{n!(n-1+1)}\)



\(y_{2}(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{x^{n}}{n! n}\)



logo a solução geral é tal que duas funções linearmentes independentes :


\(y(x)=a_{0}+a_{1}\sum_{n=0}^{+\infty} \; \frac{x^{n}}{n! n}\)