Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde!!!
Será que alguém sabe resolver esta equação ??
Estou mesmo a precisar de ajuda

Assumindo que a solução será proporcional \(e^{\lambda x}\)

\(\frac{\mathrm{d^5} }{\mathrm{d} x^5}(e^{\lambda x})=\lambda ^5e^{\lambda x},\; \; \; \; \; \; \; \frac{\mathrm{d^4} }{\mathrm{d} x^4}(e^{\lambda x})=\lambda ^4e^{\lambda x},\; \; \; \; \; \; \; \frac{\mathrm{d^3} }{\mathrm{d} x^3}(e^{\lambda x})=\lambda ^3e^{\lambda x},\; \; \; \; \; \; \; \frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2}(e^{\lambda x})=\lambda ^2e^{\lambda x},\; \; \; \; \; \; \; \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(e^{\lambda x})=\lambda \, e^{\lambda x}\; \; \; \; \; \; \;\)

\((\lambda ^5e^{\lambda x})+5(\lambda ^4e^{\lambda x})-2(\lambda ^3e^{\lambda x})-10(\lambda ^2e^{\lambda x})+(\lambda\, e^{\lambda x})+5(e^{\lambda x})=0\)

\((\lambda^5+5\lambda^4-2\lambda^3-10\lambda^2+\lambda+5)e^{\lambda x}=0\)

\(\lambda^5+5\lambda^4-2\lambda^3-10\lambda^2+\lambda+5=\) \(0\) já que \(e^{\lambda x}\neq 0\)

\((\lambda-1)^2(\lambda+1)^2(\lambda+5)=0\)

\(\lambda=-5\: \vee \: \lambda=-1\: \vee \: \lambda=-1\: \vee \: \lambda=1\: \vee \: \lambda=1\)

Para \(\lambda=-5\) vem \(y_{1}(x)=c_{1}\: e^{-5x}\)
Para \(\lambda=-1\) vem \(y_{2}(x)=c_{2}\: e^{-x}\) e \(y_{3}(x)=c_{3}\: e^{-x}\)
Para \(\lambda=1\) vem \(y_{4}(x)=c_{4}\: e^{x}\) e \(y_{5}(x)=c_{5}\: e^{x}\)

\(y(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x)+y_{3}(x)+y_{4}(x)+y_{5}(x)
y(x)=c_{1}\: e^{-5x}+c_{2}\: e^{-x}+c_{3}\: e^{-x}+c_{4}\: e^{x}+c_{5}\: e^{x}\)

Para o qual c1,c2,c3,c4 e c5 são constantes arbitrárias.

Muito obrigada!
Acho que já percebi mas como encontraste os zeros da equação??

Eu usei a minha calculadora gráfica para resolver as raízes do polinómio do 5º grau. Depois factorizei.

Ah pois , é que vou ter exame amanhã mas nós não podemos usar calculadora gráfica.
Não sabes como lá chegamos sem calculadora?

É simples utilize o Teorema das raízes racionais.

Ah muito obrigada!