EDO de 2ª ordem com raizes complexas

[gu21n]

Encontre uma solução para a seguinte equação diferencial:

\(y''+-y'=-3\)
Encontrei o seguinte para as raízes:
\(\lambda=\frac{1\pm \sqrt 11 i}{2}\)

Como faço para encontrar a solução geral da equação?

[gu21n]

Apenas corrigindo um erro de digitação

\(y''-y'=-3\)

[Sobolev]

Trata-se de uma equação não homogénea... A solução geral pode ser escrita como \(y = y_h + y_p\), em que \(y_h\) é a solução geral da equação \(y''-y' = 0\) e \(y_p\) é uma solução particular da equação dada.

1. Determinação de \(y_h\).

O polinómio característico é \(D^2- D\), cujas raizes são D=0 e D=1, pelo que \(y_h = C_1 + C_2 e^t\)

2. Determinação de \(y_h\).

Como o segundo membro da eq. é uma constante mas as contantes já são soluções da equação homogénea, podemos testar uma solução particular da forma \(y_p = Kt\). Substituindo na eq. teremos que

\((Kt)'' - (Kt)' = -3 \Leftrightarrow 0 -K = -3 \Leftrightarrow K = 3.\)

pelo que \(y_p = 3t\) é solução da equação.

Finalmente a solução geral é dada por

\(y = y_h + y_p = C_1 + C_2 e^t + 3t\)