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Quais as constantes a e b para as quais a função é contínua, porém, não diferenciável?

f(x)=ax+b, x>0;
f(x) = sen(x), x<=0

A função é contínua para qualquer \(x \ne 0\) (conversa habitual sobre a continuidade de funções polinomiais e trignonométricas). Para ser contínua em todos os pontos deve então ser contínua no ponto \(x=0\). Ora, \(f(0) = f(0^-) = 0\) e \(f(0^+)=b\). Assim, para que a função seja contínua, basta que \(b=0\).

Relativamente à diferenciabilidade, pode verificar que \(f'(0^+) = a\) e que \(f'(0^-)=1\). Assim, a função apenas é diferenciável se \(b=0\) e \(a=1\).

Assim, se \(b=0\) e \(a \ne 1\), a função é contínua mas não diferenciável.