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A função y(x)= x log (x) + x é solução do problema de condição inicial xy' = y +x - 1 , y(1)=1 Verdadeiro ou Falso?

Resolvamos então...

\(xy' = y +x - 1 \ \ y(1)=1\)

Desenvolvendo...

\(xy'= y+x-1\)

\(y'=\frac{y+x-1}{x}\)

\(y'=\frac{y}{x}+1-\frac{1}{x}\)

\(y'-\frac{1}{x}y=\frac{x-1}{x}\)

Estamos então perante uma equação diferencial de primeira ordem que são do género:

\(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\)

e têm como solução:

\(y = e^{-\int_{}^{} P(x)\,dx} \int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx} Q(x)\,dx + Ce^{-\int_{}^{} P(x)\,dx}\)

Neste caso \(P(x)=-\frac{1}{x}\) e \(Q(x)=\frac{x-1}{x}\)

Calculemos então \(\int P(x)dx=\int (-\frac{1}{x})dx=-ln|x|\)

o que significa que \(e^{-\int_{}^{} P(x)\,dx}=e^{ln|x|}=x\) e que:

\(\int_{}^{} e^{\int_{}^{} P(x)\,dx} Q(x)\,dx=\int e^{-ln|x|}\times \frac{x-1}{x}dx=\int \frac{x-1}{x^2}dx=\int \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}dx=ln|x|+\frac{1}{x}\)

Assim concluimos que

\(y=x(ln|x|+\frac{1}{x})+Cx\)

Como \(y(1)=1\)

\(1=ln(1)+1+C.1 \Leftrightarrow C=0\)

Assim a solução é \(y=x.ln|x|+1\)

é falso!!!

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João Pimentel Ferreira
 
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Outra forma muito mais fácil, estou a ver agora era só substituir a suposta solução \(y\) e \(y'\)na equação e ver se dava correcto

Ou seja se \(y= x log (x) + x\) então \(y'=log(x)+2\)

Bastava substituir na equação e ficamos com:

\(xy' = y +x - 1\)

\(x(log(x)+2)=(x log (x) + x)+x-1\)

\(x.log(x)+2x=x.log(x)+2x-1\)

\(0=-1\)

a resposta é: falso

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