Calcule o conjunto de todas as curvas

[ivoski]

Calcule o conjunto de todas as curvas do primeiro quadrante, que cortam perpendicularmente a elipse de semi-eixos a e b, respectivamente paralelos aos eixos das abcissas e das ordenadas, e centro no ponto (0, 0).

[João P. Ferreira]

ache a eq. diferencial associada à elipse e depois faça uma substituição \(y'\to -\frac{1}{y'}\)

[hierra]

lanço algumas dicas adquiridas sobre a questão

1) Se a reta tangente a uma curva C, em um ponto P tem inclinação m, então a inclinação da (reta tangente à) curva que corta C, perpendicularmente ,em P tem inclinação m' = 1/m.
2) A equação da elipse do enunciado da questão é

(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1

3) Calcular a inclinação m da reta tangente ( i.é., y'), derivando implicitamente a equação acima (e tirando o valor de y').
4) Utilizando a informação do item (1) obter a equação diferencial da(s) curva(s) que corta(m) a elipse perpendicularmente em cada ponto.
5) Resolver a equação

[Marcus v]

Boa Tarde!

Algum de vocês conseguiu terminar esta questão??
Não estou conseguindo.

Desde já agradeço.

[João P. Ferreira]

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Consegue achar a equação diferencial associada à eq. da elipse?

\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)

tem apenas de derivar dos dois lados da equação...

[Marcus v]

sim,

Tentei derivar os dois lados em função de x e cheguei no seguinte resultado:

y' = (b*x*(a²-x²)^(-1/2))/a

Estou no caminho certo??

Não sei como usar a substituição y' --> 1/y'.

Muito obrigado, pela ajuda professor!

[João P. Ferreira]

Pode usar Latex (Editor de Equações com botão mm aí em cima) e dar passo a passo por favor? Parece-me que o seu resultado está errado e queria ver onde vc errou para o ajudar

A substituição \(y' \to -1/y'\) é só isso mesmo, onde está \(y'\) vc coloca \(-1/y'\)

[João P. Ferreira]

Pareceu-me que quis colocar primeiro o y em evidência, não é preciso

Derivando dos dois lados e considerando que \(y=y(x)\)

\(\left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\right)' = 1'\)

\(\frac{2x}{a^2} + \frac{2y'y}{b^2} = 0\)

Esta é a eq. diferencial das elipses.

Fazendo \(y'\to -1/y'\)

\(\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{y'b^2} = 0\)

Esta é a eq. diferencial das curvas que são perpendiculares às elipses.

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[ivoski]

Pareceu-me que quis colocar primeiro o y em evidência, não é preciso

Derivando dos dois lados e considerando que \(y=y(x)\)

\(\left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\right)' = 1'\)

\(\frac{2x}{a^2} + \frac{2y'y}{b^2} = 0\)

Esta é a eq. diferencial das elipses.

Fazendo \(y'\to -1/y'\)

\(\frac{2x}{a^2} - \frac{2y}{y'b^2} = 0\)

Esta é a eq. diferencial das curvas que são perpendiculares às elipses.

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Professor Joao
este é o grand finale??
a questao esta resolvida?

[João P. Ferreira]

Não, não está ainda resolvida, agora a partir da eq. diferencial tem de achar a equação convencional sem \(y'\)