Por que eu não posso integrar dessa forma.

[kryzay]

Estou começando a estudar equações diferenciais e estou com uma dúvida que acredito ser de cálculo.

no exercício tenho que resolver essa equação:

dy/dt = -2y + 5

O modo que o autor resolveu a equação eu entendi. Mas gostaria de saber porque eu nao posso fazer isso:

dy = (-2y +5) dt

E então integrar as duas partes:

y = -2ty + 5t + C

[josesousa]

Porque sendo y uma função de t (y(t)), o integral em t de (-2y +5) não tem de ser -2ty + 5t + C, já que y não tem de ser constante. Imagina, por exemplo, que y=t^2. Experimenta substituir e verifica se o integral de (-2y +5) é como escreves

[kryzay]

José, você quer dizer que eu não posso considerar y como uma constante, pois y é uma variável dependente?

Na resolução do livro:

\(\frac{dy}{dt} = -2y + 5\)

\(\frac{\frac{dy}{dt}}{y-5/2} = -2\)

Pela regra da cadeia:

\(\frac{d(ln|y-\frac{5}{2}|)}{dt} = \frac{d(ln|y-\frac{5}{2}|)}{dy} \cdot \frac{dy}{dt}\)

\(\frac{d(ln|y-\frac{5}{2}|)}{dt} = \frac{1}{y-\frac{5}{2}} \cdot \frac{dy}{dt}\)

Logo:

\(\frac{d(ln|y-\frac{5}{2}|)}{dt} = -2\)

\(d(ln|y-\frac{5}{2}|) = -2dt\)

Mas agora eu posso integrar porque estou integrando y em uma função f(y)? Dessa forma não importa se y é uma função de t?

Integrando:

\(ln|y-\frac{5}{2}| = -2t + C\)


E só uma última dúvida: Por que eu tenho constante apenas no lado direito? É como se com essa constante acontecesse isso depois de integrar:

\(ln|y-\frac{5}{2}|+C^{1} = -2t + C^{2}\)

\(ln|y-\frac{5}{2}| = -2t + C^{2}-C^{1}\)

Daí então \(C = C^{2}-C^{1}\)
?

[josesousa]

A resolução é simples. Esta equação é separável, isto é, podemos ter os termos em t num dos membros, e os termos em y no outro.

\(dy/dt = -2y + 5\)
\(dy/dt = -2(y - 5/2)\)
\(\frac{1}{y - 5/2}dy = -2 dt\)

Assim, já temos os termos separados. Agora podemos integrar ambos os termos

\(\int \frac{1}{y - 5/2}dy = \int -2 dt\)
\(ln(|y-5/2|) = -2t+C\)

Sim, em relação às constantes, a soma ou subtração de 2 constantes é 1 constante.

Assim,
\(|y-5/2| = e^{-2t+C}=e^{-2t}e^{C}=\)
\(=e^{-2t}C_1=\)