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| Determinação de Variação Instantâea da Área https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=10403 |
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| Autor: | calbferreira@2 [ 07 fev 2016, 23:44 ] |
| Título da Pergunta: | Determinação de Variação Instantâea da Área |
pode me ajudar a resolver o exercício abaixo? \(\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\left ( \sqrt{3/4}(x+\Delta x)^2-\sqrt{3/4}x^2 \right )/\Delta x\) sendo x = 10 |
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| Autor: | lucasgg [ 08 fev 2016, 03:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinação de Variação Instantâea da Área |
Você poderia ter explicado melhor sua dúvida, no que você está tendo dificuldade? Irei resolver parte desse exercício. Começamos com: \(\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{3/4} (x+\Delta x)^2 - \sqrt{3/4} x^2}{\Delta x}\) Temos que \((x+\Delta x)^2 = (x+\Delta x)(x+\Delta x) = (x^2 + 2x \Delta x + \Delta x^2)\), portanto a equação acima é: \(= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{3/4} (x^2 + 2x \Delta x + \Delta x^2) - \sqrt{3/4} x^2}{\Delta x}\) Podemos fazer a distributiva em \(\sqrt{3/4} (x^2 + 2x \Delta x + \Delta x^2)\), chegando na equação abaixo: \(= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{3/4} x^2 + \sqrt{3/4} \cdot 2x \Delta x + \sqrt{3/4} \Delta x^2 - \sqrt{3/4} x^2}{\Delta x}\) \(= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{3/4} \cdot 2x \Delta x + \sqrt{3/4} \Delta x^2}{\Delta x}\) Agora ficou fácil de terminar. |
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| Autor: | calbferreira@2 [ 08 fev 2016, 11:34 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinação de Variação Instantâea da Área |
Fiz o mesmo desenvolvimento feito por você, porém a resposta do exercício é \(5\sqrt{3}\), que não dá por essa forma. O enunciado do exercício é: Um triângulo equilátero feito de uma folha de metal é expandido pois foi aquecido. Sua área A é dada por \(A=(\sqrt{3/4})x^{2}\) centímetros quadrados, onde x é o comprimento de um lado em centímetros. Calcule a taxa de variação instantânea de A em relação a x no instante em que x=10 cm. Fonte: Mounem e Foulis |
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| Autor: | lucasgg [ 08 fev 2016, 16:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinação de Variação Instantâea da Área [resolvida] |
A princípio depois da sua segunda resposta eu achei muito estranho e pensei que, devido a se tratar de um objeto em dilatação, poderia ser aplicado algumas regras da física como a de conservação das massas, mas isso não chega a nenhuma resposta do tipo \(5\sqrt{3}\) Entretanto ei sei uma olhada no wikipedia (em pt) sobre triângulo equilátero, e descobri que a equação da área é \(\frac{\sqrt{3}}{4}x^2\) O enunciado do exercício está equivocado, provavelmente isso ocorreu na hora de traduzir ele do inglês. |
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| Autor: | Fraol [ 08 fev 2016, 17:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinação de Variação Instantâea da Área |
lucasgg Escreveu: (...)que a equação da área é \(\frac{\sqrt{3}}{4}x^2\) Você deriva \(\frac{\sqrt{3}}{4}x^2\) e obtém \(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}x\). Essa é a taxa de variação em função de \(x\). Agora substitui \(x = 10\) e chega à resposta. |
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