Podem me ajudar?
| Anexos: |
|
3.jpg [ 27.75 KiB | Visualizado 2754 vezes ] |
| Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
| Equação diferencial homogênea e fator de integração https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=10535 |
Página 1 de 1 |
| Autor: | jearaujo01 [ 01 mar 2016, 00:49 ] | ||
| Título da Pergunta: | Equação diferencial homogênea e fator de integração | ||
Podem me ajudar?
|
|||
| Autor: | Sobolev [ 01 mar 2016, 09:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equação diferencial homogênea e fator de integração |
Uma equação diferencial da forma \(M dx + N dy = 0\) diz-se exacta se \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\). Nesse caso é possível encontrar uma função \(\Psi\) tal que \(\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = N\) e as soluções da equação diferencial são dadas na forma implitica por \(\Psi = C\). Quando a equação \(M dx + N dy = 0\) não é exacta mas \(\mu M dx + \mu N dy = 0\) já é exacta, dizemos que \(\mu\) é um factor integrante. Assim, para verificar se \(\mu\) é factor integrante basta verificar se \(\frac{\partial}{\partial y}(\mu M) = \frac{\partial}{\partial x} (\mu N)\). Consegue aplicar ao seu caso? |
|
| Autor: | jearaujo01 [ 02 mar 2016, 01:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equação diferencial homogênea e fator de integração |
Entendi! Consegui verificar o fator de integração. Poderia me ajudar na solução geral? |
|
| Autor: | Sobolev [ 03 mar 2016, 10:25 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Equação diferencial homogênea e fator de integração [resolvida] |
Já depois de multiplicar pelo factor integrante, ficamos com a a equação \(\frac{y}{x^2-y^2} dx + \frac{x^2-xy-y^2}{y(x^2-y^2)} = 0\) A função \(\Psi\) pode ser encontrada por primitivação... \(\frac{\partial \Psi}{\partial x} = \frac{y}{x^2-y^2}\Rightarrow \Psi = \int \frac{y}{x^2-y^2} dx = \frac 12 \ln|x-y| - \frac 12 \ln|x+y| + f(y) \frac{\partial \Psi}{\partial y} = \frac{x^2-xy-y^2}{y(x^2-y^2)} \Rightarrow \Psi = \int \frac{x^2-xy-y^2}{y(x^2-y^2)} dy = \ln|y| + \frac 12 \ln|x-y| - \frac 12 \ln|x+y| + g(x)\) Comparando as duas expressões alternativas para \(\Psi\) concluímos que \(\Psi = \ln|y| + \frac 12 \ln|x-y| - \frac 12 \ln|x+y| + C\), pelo que as solução da equação diferencial são dadas, na forma implicita pela equação \(\ln|y| + \frac 12 \ln|x-y| - \frac 12 \ln|x+y| = K\) Cálculos auxiliares: \(\int \frac{y}{x^2-y^2}dx = \frac 12 \int \left(\frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y}\right) dx = \frac 12 \ln|x-y| - \frac 12 \ln|x+y| + C\) \(\int\frac{x^2-xy-y^2}{y(x^2-y^2)}dy = \int \left( \frac 1y - \frac{x}{x^2-y^2}\right)dy = \int\left( \frac 1y +\frac{\frac 12}{x-y} - \frac{\frac 12}{x+y}\right) dy =\ln|y| + \frac 12 \ln|x-y| - \frac 12 \ln|x+y| + C\) |
|
| Página 1 de 1 | Os Horários são TMG [ DST ] |
| Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |
|