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EDO-Redução de ordem
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=1101		 Página 1 de 1
Autor:  garotanerd [ 26 nov 2012, 02:55 ]
Título da Pergunta:  EDO-Redução de ordem
Equações diferenciais, Alguém poderia me ajudar?
Resolva e equação diferencial(Equações sem a Variável Independente)
y"+y(y')³=0(Sugestão:faça u=y')
resposta: (1/3)y³-2c1y+c2=2t;também y=c
eu fiz o seguinte:
u=y'
u'=du/dx=dudy/dydx=udu/dy
u'=-yu³
udu/dy=-yu³
du/u²=-ydy
-u^-1=-y²dy/2
-1/u=-y²dy/2
1/u=y²dy/2
1/y'=y²dy/2
dx/dy=y²/2
2dx=y²dy
y²dy=2dx
apliquei integral e
y³/3=2xc1+c
y³/3-2c1x-c=0
y³/3-2c1x+c2 onde c2=-c
mas ainda não cheguei na resposta do livro=(
Alguém poderia me ajudar ?
Autor:  Rui Carpentier [ 26 nov 2012, 14:39 ]
Título da Pergunta:  Re: EDO-Redução de ordem
Acho que há aí alguns equívocos: segundo as soluções y é função de t em vez de x, e na sua resolução falta uma constante a meio dos passos.

Pegando na sua resolução e corrigindo:

u=y'
u'=du/dt=dudy/dydt=udu/dy
u'=-yu³
udu/dy=-yu³
du/u²=-ydy
-u^-1=-y²/2 -c1
-1/u=-y²/2 -c1
1/u=y²/2 +c1
1/y'=y²/2 +c1
dt/dy=y²/2 +c1
2dt=(y²+2c1)dy
(y²+2c1)dy=2dt
apliquei integral e
y³/3+2c1y +c2=2t

Talvez fosse mais fácil fazer:

\(y"+y(y')^3=0 \quad \stackrel{\mbox{se }y'\not=0}{\Leftrightarrow}\quad y y'=-\frac{y''}{(y')^2}\quad\Leftrightarrow \quad \frac{y^2}{2}+c_1=\frac{1}{y'}\quad\Leftrightarrow\quad y^2y' +2c_1y'=2\quad \Leftrightarrow \quad\frac{y^3}{3} +2c_1y+c_2=2t\)
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