Para que a derivada de sen(x) seja cos(x), vamos trabalhar com o ângulo em radianos, então
\(30^{\circ}=\frac{\pi }{6}rad\)
e
\(1^{\circ}=\frac{\pi }{180}rad\)
Vamos aproximar a partir do ponto \(x_0=\frac{\pi }{6}\) que tem seno já conhecido \(f(x_0)=sen(x_0)=0.5\).
Como a aproximação é linear, fazemos
\(f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}(x_0).\Delta x=0.5+\cos (x_0).\Delta x=0.5+\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\pi }{180}\)
Logo:
\(sen(31^{\circ})\approx0.5+\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\pi }{180}\).
Calculando os valores o erro entre a aproximação e o exato é da ordem de \(10^{-4}\)
Imagem da função e da aproximação linear (31 graus é aproximadamente 0,54 radianos):
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