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| Determine, caso exista, o extremo da função https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=17&t=11365 |
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| Autor: | marinacastro [ 16 jun 2016, 02:07 ] |
| Título da Pergunta: | Determine, caso exista, o extremo da função |
Não consegui nem começar esta :/ Enunciado: Determine, caso exista, o extremo da função: \(f(x,y) = x^2+xy-y^2-3x-3y+4\) Obrigado gente! |
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| Autor: | Sobolev [ 16 jun 2016, 09:37 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determine, caso exista, o extremo da função |
Tratando-se de uma função diferenciável, definida num conjunto aberto (\(\mathbb{R}^2\)), os extremos ocorrem em pontos onde o gradiente se anula, isto é, onde as derivas parciais se anulam simultaneamente. Neste caso, \(f'_x = 2x+y-3, \quad f'_y = x-2y-3\) Obrigando as duas derivadas parciais a serem nulas, obtem um sistema linear que conduz a \(x = \frac 95, y = -\frac 35\). Este ponto é portanto o único que poderá ser extremante da função dada. Para esclarecer se é de facto um extremante podemos usar os critérios de segunda ordem (matriz Hesseana). Neste caso a matriz Hesseana, que contém as derivadas parciais de segunda ordem é dada por \(H=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right)\) Como esta matriz é indefinida (usar a cadeia dos menores principais), o ponto encontrado é um ponto de sela (não é extremante). A função não tem por isso extremos. |
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